Bilan : Synthèse et méthode sur les puissances d'un nombre

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• a^n : n facteurs égaux à a ; pour a 0, a^0 = 1 et a^-n = 1/a^n. • Même base : a^m a^n = a^m+n, a^m/a^n = a^m-n, (a^m)^n = a^mn. • Pour a > 0 : (-a)^n est positif si n est pair, négatif si n est impair ; -a^n = -(a^n). • Ordre des calculs : parenthèses, puissances, et , puis + et -.

Le cours

Bilan du chapitre Ce bilan rassemble tout le chapitre : définition de a^n, exposant nul et exposants négatifs, signe d'une puissance, règles de calcul et priorités. Ces outils servent ensuite partout : en sciences pour écrire les très grands et les très petits nombres (chapitre « Puissances de 10 et écriture scientifique »), en géométrie pour les aires et les volumes. Ce qu'il faut savoir •Définitions : a^n = a a a (n facteurs, n 1) ; a^1 = a ; pour a 0, a^0 = 1 et a^-n = 1/a^n. •Signe : une base positive donne une puissance positive ; pour a > 0, (-a)^n est positif si n est pair, négatif si n est impair ; -a^n = -(a^n) ; un exposant négatif ne change pas le signe. •Règles (a 0, m et n entiers relatifs) : a^m a^n = a^m+n ; a^m/a^n = a^m-n ; (a^m)^n = a^mn ; avec le même exposant, a^n b^n = (ab)^n. •Priorités : parenthèses, puis puissances, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions. Méthode : simplifier une expression avec des puissances 1. Décomposer les bases en produits de nombres simples : 4 = 2^2, 8 = 2^3, 9 = 3^2, 6 = 2 3, 12 = 2^2 3. 2. Développer les puissances de puissances et de produits : 12^3 = (2^2 3)^3 = 2^6 3^3. 3. Regrouper les puissances de même base, puis additionner ou soustraire leurs exposants. 4. Déterminer le signe d'après la parité des exposants des bases négatives. 5. Calculer la valeur à la fin seulement, puis la contrôler (ordre de grandeur, calcul direct). Erreurs classiques Avant de rendre une copie, compare tes calculs à ce tableau : chaque ligne « Faux » correspond à une règle mal appliquée (exposant pris pour un multiplicateur, convention oubliée, signe mal placé, règle utilisée sur une somme, priorité non respectée). FauxJuste2^3 = 62^3 = 85^0 = 05^0 = 13^-2 = -93^-2 = 1/9-2^4 = 16-2^4 = -162^3 2^4 = 4^72^3 2^4 = 2^72^3 + 2^4 = 2^72^3 + 2^4 = 24(2^3)^2 = 2^5(2^3)^2 = 2^63 2^2 = 363 2^2 = 12

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