Priorités des puissances dans les enchaînements de calculs

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Ordre : parenthèses, puis puissances, puis et , puis + et -. • L'exposant porte sur le nombre ou la parenthèse juste avant lui : k a^n = k (a^n), jamais (k a)^n. • En général, (a + b)^2 a^2 + b^2 : (3 + 4)^2 = 49 mais 3^2 + 4^2 = 25. • Une barre de fraction sépare deux calculs à terminer avant de diviser.

Le cours

Priorités opératoires Une puissance « colle » au nombre ou à la parenthèse écrit juste avant elle. Dans un enchaînement de calculs, elle se calcule avant les multiplications, les divisions, les additions et les soustractions : c'est ce qui distingue 2 3^2 = 18 de (2 3)^2 = 36. Ce qu'il faut savoir •Ordre des calculs : 1) les parenthèses, en commençant par les plus intérieures ; 2) les puissances ; 3) les multiplications et les divisions, de gauche à droite ; 4) les additions et les soustractions, de gauche à droite. •L'exposant ne porte que sur ce qui le précède immédiatement : dans 5 2^3, seul 2 est au cube (5 8 = 40) ; dans (5 2)^3, c'est tout le produit (10^3 = 1\,000). •La puissance passe aussi avant la division : 36 3^2 = 36 9 = 4, et non 12^2 = 144. •Une puissance de somme n'est pas une somme de puissances : (3 + 4)^2 = 7^2 = 49, alors que 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25. •Une barre de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule séparément le numérateur et le dénominateur, puis on divise. Méthode : rédiger un calcul avec des puissances 1. Repérer ce qui est prioritaire : les parenthèses, puis les puissances. 2. Recopier toute la ligne en remplaçant seulement ce qui vient d'être calculé. 3. Effectuer les multiplications et les divisions, puis les additions et les soustractions. 4. Contrôler le résultat : ordre de grandeur, autre façon de calculer, ou calculatrice en tapant les parenthèses. B = 4 (5 - 2)^2 - 3^2 2 B = 4 3^2 - 3^2 2 B = 4 9 - 9 2 B = 36 - 18 = 18 À la calculatrice La machine respecte les priorités : pour calculer (5 2)^3 ou (-4)^2, il faut taper les parenthèses. Pour un quotient comme 2^4 + 4/2^2, on tape (2^4 + 4) 2^2 et on obtient 5 ; sans parenthèses, la machine calcule 2^4 + 4 2^2 = 17.

Dans ce chapitre