Définition de a^n pour un exposant entier positif et convention a^0 = 1

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• a^n = a a a avec n facteurs égaux à a (n 1) ; a est la base, n l'exposant. • a^1 = a ; 1^n = 1 ; 0^n = 0 pour n 1. • Convention : a^0 = 1 pour tout nombre a non nul. • a^n n'est pas a n : 2^5 = 32 mais 2 5 = 10.

Le cours

Puissance d'un nombre Écrire 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 est long et source d'erreurs. La notation puissance prolonge le carré et le cube de 5ème : ce produit de dix facteurs s'écrit 2^10 et vaut 1\,024. Ce qu'il faut savoir •Pour tout nombre a et tout entier n 1, a^n est le produit de n facteurs tous égaux à a. •a est la base et n l'exposant ; a^n se lit « a puissance n » ou « a exposant n ». a^2 et a^3 sont le carré et le cube. •La base peut être un entier, un décimal, une fraction ou un nombre relatif : 1,5^2 = 2,25 ; (2/3)^2 = 4/9 ; (-2)^3 = -8. •Cas particuliers : a^1 = a (un seul facteur) ; 1^n = 1 ; 0^n = 0 pour n 1. •Convention : pour tout nombre a non nul, a^0 = 1. L'écriture 0^0 n'est pas utilisée. a^n = a a a_n facteurs Pourquoi a^0 = 1 ? Dans la liste 2^4 = 16, 2^3 = 8, 2^2 = 4, 2^1 = 2, on divise par 2 chaque fois que l'exposant diminue de 1. En continuant, on obtient 2^0 = 2 2 = 1. Le même raisonnement vaut pour toute base non nulle : c'est pourquoi on pose a^0 = 1. Méthode : calculer une puissance à la main 1. Repérer la base et l'exposant. Si l'exposant vaut 0 (base non nulle), le résultat est 1 ; s'il vaut 1, le résultat est la base. 2. Sinon, écrire le produit des n facteurs égaux à la base. 3. Regrouper les facteurs pour calculer plus vite : 3^4 = (3 3) (3 3) = 9 9 = 81. 4. Pour écrire un entier sous forme de puissance, le diviser plusieurs fois par la base : 81 3 = 27, 27 3 = 9, 9 3 = 3, 3 3 = 1. Quatre divisions : 81 = 3^4. À la calculatrice, on utilise la touche puissance (notée ^ ou x^y) : la séquence 2 ^ 10 affiche 1\,024. Attention Ne confonds pas a^n et a n : 2^5 = 32 alors que 2 5 = 10. Ne crois pas non plus que a^0 = 0 : 7^0 = 1. Enfin, les puissances grandissent très vite : 2^10 dépasse déjà 1\,000.

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