Puissances d'un produit et d'un quotient : formules (ab)^n et (a/b)^n

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Puissance d'un produit : (a b)^n = a^n b^n. • Puissance d'un quotient : (a/b)^n = a^n/b^n pour b 0. • Exposant négatif d'une fraction : (a/b)^-n = (b/a)^n = b^n/a^n.

Le cours

1. Puissance d'un produit : formule (a b)^n Pour élever un produit à une puissance, on élève chaque facteur à cette puissance. Pour tous nombres relatifs a et b et tout entier relatif n : (a b)^n = a^n b^n En effet, (a b)^3 = (ab) (ab) (ab) = (a a a) (b b b) = a^3 b^3. Cette règle s'applique aussi bien pour calculer rapidement (2^4 5^4 = (2 5)^4 = 10^4 = 10\,000) que pour développer en calcul littéral : (3x)^2 = 3^2 x^2 = 9x^2. 2. Puissance d'un quotient et fractions Pour élever un quotient à une puissance, on élève le numérateur et le dénominateur à cette puissance. Pour tout nombre relatif a, tout nombre relatif b non nul et tout entier n : (a/b)^n = a^n/b^n et pour l'inverse : (a/b)^-n = (b/a)^n = b^n/a^n Par exemple, (2/3)^4 = 2^4/3^4 = 16/81 et (4/5)^-2 = (5/4)^2 = 25/16. L'exposant négatif inverse simplement le numérateur et le dénominateur de la fraction. 3. Erreur fréquente Attention aux parenthèses ! Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le terme qui le précède immédiatement. Ainsi, 2x^3 n'est pas égal à (2x)^3 : dans 2x^3, seul x est au cube (2 x^3), alors que (2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3. De même, a^2/b (a/b)^2.

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