Sommes et différences de puissances : calcul direct et factorisation simple

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• On ne doit JAMAIS additionner les exposants lors d'une addition ou d'une soustraction : a^m + a^n a^m+n. • Pour calculer une somme de puissances, on évalue la valeur de chaque terme avant d'additionner. • On peut factoriser par la plus petite puissance : a^n+1 + a^n = a^n(a + 1).

Le cours

1. Absence de formule générale pour la somme Il n'existe AUCUNE règle pour simplifier directement une somme de puissances. En particulier : a^m + a^n a^m+n et a^n + b^n (a + b)^n Par exemple, 2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24, alors que 2^3+4 = 2^7 = 128. De même, 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25, alors que (3 + 4)^2 = 7^2 = 49. L'addition des exposants ne s'applique jamais à une somme. 2. Évaluation numérique et factorisation par une puissance Pour évaluer une somme ou une différence de puissances lorsque les exposants sont petits, on calcule séparément la valeur de chaque puissance, puis on additionne ou on soustrait les nombres obtenus. Pour des exposants plus grands ayant la même base, on peut factoriser par la puissance possédant le plus petit exposant : 2^5 + 2^7 = 2^5 (1 + 2^2) = 2^5 (1 + 4) = 2^5 5 = 32 5 = 160 3^10 - 3^8 = 3^8 (3^2 - 1) = 3^8 (9 - 1) = 8 3^8 Cette technique permet d'exprimer des sommes de grandes puissances sous une forme compacte et simplifiée sans avoir à développer des calculs gigantesques. 3. Erreur fréquente Confondre le signe d'opération : la formule des exposants a^m a^n = a^m+n ne fonctionne QUE pour la multiplication. Écrire 5^3 + 5^2 = 5^5 est une erreur grave : 5^3 + 5^2 = 125 + 25 = 150, tandis que 5^5 = 3125. Ne combinez jamais les exposants lorsqu'il y a un signe + ou -.

Dans ce chapitre

• Carré et cube d'un nombre positif de 5ème
• Priorités opératoires et rôle des parenthèses de 5ème
• Égalité de fractions et simplification de 5ème
• Définition de a^n pour un exposant entier positif et convention a^0 = 1
• Puissances à exposants entiers négatifs et inverse a^-n
• Signe d'une puissance et distinction entre (-a)^n et -a^n
• Règles de calcul sur les puissances de même base
• Priorités des puissances dans les enchaînements de calculs
• Écrire un entier ou une fraction sous la forme d'une puissance a^n ou a^-n
• Puissances d'un produit et d'un quotient : formules (ab)^n et (a/b)^n
• Sommes et différences de puissances : calcul direct et factorisation simple
• Comparaison et encadrement de puissances d'entiers et de nombres entre 0 et 1
• Résolution de problèmes et modélisation par des puissances successives
• Bilan : Synthèse et méthode sur les puissances d'un nombre