Signe d'une puissance et distinction entre (-a)^n et -a^n

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Base positive : toutes ses puissances sont positives. • Pour a > 0 : (-a)^n est positif si n est pair, négatif si n est impair. • (-1)^n = 1 si n est pair et (-1)^n = -1 si n est impair. • Sans parenthèses, -a^n = -(a^n) : -3^4 = -81, mais (-3)^4 = 81.

Le cours

Signe d'une puissance Une puissance d'un nombre négatif est un produit de facteurs négatifs : la règle des signes du chapitre « Nombres relatifs » permet donc de prévoir son signe sans tout calculer. Encore faut-il savoir si le signe - est, ou non, sous l'exposant. Ce qu'il faut savoir •Si la base est positive, toutes ses puissances sont positives : 5^3 = 125 ; 0,5^4 = 0,0625. •Si la base est négative, de la forme -a avec a > 0, alors (-a)^n est un produit de n facteurs négatifs : il est positif si n est pair et négatif si n est impair. Sa distance à zéro est a^n. •Cas utile : (-1)^n vaut 1 si n est pair et -1 si n est impair. Ainsi (-1)^2026 = 1 et (-1)^2027 = -1. •Dans l'écriture -a^n, sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur a : -a^n = -(a^n). Par exemple -3^4 = -(3 3 3 3) = -81, alors que (-3)^4 = 81. •Un exposant négatif ne change pas le signe : (-2)^-2 = 1/(-2)^2 = 1/4 est positif, (-3)^-1 = -1/3 est négatif. n pair : (-a)^n = a^n n impair : (-a)^n = -a^n Méthode : trouver le signe d'une puissance 1. Regarder si le signe - est à l'intérieur des parenthèses, donc sous l'exposant. 2. S'il l'est, la parité de l'exposant décide : pair donne +, impair donne -. Un entier est pair si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8. 3. S'il ne l'est pas, calculer a^n puis placer le signe - devant le résultat. 4. Dans un produit, compter tous les facteurs négatifs, y compris ceux « cachés » dans les puissances : (-2)^3 (-5)^2 contient 3 + 2 = 5 facteurs négatifs, il est négatif (il vaut -8 25 = -200). À la calculatrice Taper -5^2 sans parenthèses affiche -25 : la machine calcule 5^2 puis prend l'opposé. Pour élever -5 au carré, il faut taper (-5)^2, qui affiche 25. Sur une copie, c'est pareil : oublier les parenthèses autour d'une base négative change le résultat dès que l'exposant est pair.

Dans ce chapitre

• Carré et cube d'un nombre positif de 5ème
• Priorités opératoires et rôle des parenthèses de 5ème
• Égalité de fractions et simplification de 5ème
• Définition de a^n pour un exposant entier positif et convention a^0 = 1
• Puissances à exposants entiers négatifs et inverse a^-n
• Signe d'une puissance et distinction entre (-a)^n et -a^n
• Règles de calcul sur les puissances de même base
• Priorités des puissances dans les enchaînements de calculs
• Écrire un entier ou une fraction sous la forme d'une puissance a^n ou a^-n
• Puissances d'un produit et d'un quotient : formules (ab)^n et (a/b)^n
• Sommes et différences de puissances : calcul direct et factorisation simple
• Comparaison et encadrement de puissances d'entiers et de nombres entre 0 et 1
• Résolution de problèmes et modélisation par des puissances successives
• Bilan : Synthèse et méthode sur les puissances d'un nombre