Résolution de problèmes et modélisation par des puissances successives

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Une grandeur initiale Q_0 qui double à chaque étape vaut Q_0 2^n après n étapes. • Une grandeur divisée par deux à chaque étape vaut Q_0 2^-n = Q_0/2^n. • Les puissances permettent de modéliser des évolutions géométriques rapides sans calculs intermédiaires répétés.

Le cours

1. Modéliser un phénomène de doublement avec 2^n De nombreux phénomènes réels évoluent par répétition d'une même multiplication à intervalles réguliers : division cellulaire, chaînes de solidarité, tournois sportifs à élimination directe ou pliage de papier. Lorsqu'une quantité double à chaque étape, elle est multipliée par 2 à chaque étape : Après 1 étape : Q_1 = Q_0 2 Après n étapes : Q_n = Q_0 2^n Si la quantité triple à chaque étape, on multiplie par 3^n ; si elle est multipliée par k, la quantité au bout de n étapes s'écrit Q_0 k^n. La croissance par puissances devient extraordinairement rapide lorsque n grandit. 2. Modéliser des divisions successives avec 2^-n À l'inverse, lorsqu'une grandeur est partagée en deux à chaque étape (demi-vie radioactive, filtration progressive de la lumière ou des impuretés, dilution successive d'un liquide), elle est multipliée par 1/2 = 2^-1 à chaque étape : Après n réductions de moitié : Q_n = Q_0 (1/2)^n = Q_0 2^-n = Q_0/2^n Les puissances d'exposant négatif permettent ainsi de modéliser directement des processus d'atténuation ou de division répétée sans réécrire une suite de divisions. 3. Erreur fréquente L'esprit humain a tendance à confondre la croissance par puissance avec une croissance linéaire proportionnelle. Doubler une mise 10 fois de suite ne revient pas à multiplier la mise par 2 10 = 20, mais par 2^10 = 1024. Il faut toujours identifier la nature multiplicative de l'évolution pour poser la puissance adaptée.

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