Comparaison et encadrement de puissances d'entiers et de nombres entre 0 et 1

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Pour une base a > 1, les puissances augmentent quand l'exposant augmente : a^m a^n pour m < n. • Le carré d'un nombre compris entre 0 et 1 est plus petit que ce nombre : 0,6^2 = 0,36 < 0,6.

Le cours

1. Puissances d'un nombre strictement supérieur à 1 Lorsque la base est un nombre strictement supérieur à 1 (a > 1), multiplier par a augmente la valeur. Par conséquent, la suite des puissances positives est strictement croissante : Pour a > 1 : si m Exemple avec a = 3 : 3^0 = 1 Pour comparer deux puissances ayant la même base supérieure à 1, il suffit de comparer leurs exposants : la plus grande puissance est celle qui a le plus grand exposant. 2. Puissances d'un nombre strictement compris entre 0 et 1 Lorsque la base est un nombre strictement compris entre 0 et 1 (0 Pour 0 a^n Exemple avec a = 0,5 : 0,5^1 = 0,5 > 0,5^2 = 0,25 > 0,5^3 = 0,125 > 0,5^4 = 0,0625. Pour un nombre compris entre 0 et 1, plus l'exposant est grand, plus le résultat est proche de zéro et petit. 3. Erreur fréquente Croire qu'élever un nombre au carré donne toujours un nombre plus grand est une idée fausse très répandue. Ce n'est vrai que pour les nombres strictement supérieurs à 1. Pour tout nombre compris entre 0 et 1, le carré est strictement inférieur au nombre de départ : par exemple, 0,2^2 = 0,04 < 0,2.

Dans ce chapitre

• Carré et cube d'un nombre positif de 5ème
• Priorités opératoires et rôle des parenthèses de 5ème
• Égalité de fractions et simplification de 5ème
• Définition de a^n pour un exposant entier positif et convention a^0 = 1
• Puissances à exposants entiers négatifs et inverse a^-n
• Signe d'une puissance et distinction entre (-a)^n et -a^n
• Règles de calcul sur les puissances de même base
• Priorités des puissances dans les enchaînements de calculs
• Écrire un entier ou une fraction sous la forme d'une puissance a^n ou a^-n
• Puissances d'un produit et d'un quotient : formules (ab)^n et (a/b)^n
• Sommes et différences de puissances : calcul direct et factorisation simple
• Comparaison et encadrement de puissances d'entiers et de nombres entre 0 et 1
• Résolution de problèmes et modélisation par des puissances successives
• Bilan : Synthèse et méthode sur les puissances d'un nombre