Puissances à exposants entiers négatifs et inverse a^-n

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Pour a 0 et n 1 : a^-n = 1/a^n. • a^-1 = 1/a est l'inverse de a ; a^n a^-n = 1. • Un exposant négatif donne un inverse, pas un nombre négatif : 5^-2 = 0,04. • Pour une fraction : (a/b)^-n = (b/a)^n.

Le cours

Exposant négatif La liste 2^3 = 8, 2^2 = 4, 2^1 = 2, 2^0 = 1 se poursuit en divisant encore par 2 : on obtient 1/2, puis 1/4, puis 1/8. Ces nombres s'écrivent 2^-1, 2^-2 et 2^-3 : un exposant négatif désigne un inverse. Ce qu'il faut savoir •Pour tout nombre a non nul et tout entier n 1, a^-n est l'inverse de a^n (formule ci-dessous). •En particulier, a^-1 = 1/a est l'inverse de a : 5^-1 = 1/5 = 0,2. •a^n et a^-n sont inverses l'un de l'autre : leur produit vaut 1. Par exemple 2^3 2^-3 = 8 1/8 = 1. •Le signe « - » de l'exposant ne rend pas le nombre négatif : 5^-2 = 1/25 = 0,04. Le signe du résultat dépend seulement de la base : (-2)^-3 = 1/(-2)^3 = -1/8. •Pour une fraction non nulle, l'exposant négatif renverse la fraction : (2/3)^-2 = (3/2)^2 = 9/4. •Si a > 1, les nombres a^-1, a^-2, a^-3… sont compris entre 0 et 1 et de plus en plus petits. a^-n = 1/a^n (a 0) Méthode : passer d'une écriture à l'autre 1. Pour calculer a^-n, écrire l'inverse avec l'exposant positif : a^-n = 1/a^n. 2. Calculer a^n au dénominateur, en gardant les parenthèses si la base est négative. 3. Donner le résultat en fraction, puis en écriture décimale si c'est possible : 4^-2 = 1/16 = 0,0625. 4. Dans l'autre sens, pour écrire 1/N comme une puissance, écrire N comme une puissance puis changer le signe de l'exposant : 1/64 = 1/2^6 = 2^-6. Attention Trois confusions à éviter : 3^-2 n'est ni -9, ni -6, ni -1/9, c'est 1/9. Ne confonds pas non plus 2^-3 = 1/8 (un inverse) et -2^3 = -8 (un opposé). Enfin, 0^-1 n'existe pas : on ne divise jamais par 0.

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