Règles de calcul sur les puissances de même base

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• a^m a^n = a^m+n (produit : on additionne les exposants). • a^m/a^n = a^m-n (quotient : on soustrait les exposants). • (a^m)^n = a^m n (puissance d'une puissance : on multiplie les exposants). • a^n b^n = (a b)^n ; aucune règle pour a^m + a^n.

Le cours

Puissances de même base Pour multiplier ou diviser des puissances d'un même nombre, il suffit de compter les facteurs, sans calculer chaque puissance. Par exemple, 2^3 2^4 = (2 2 2) (2 2 2 2) contient 3 + 4 = 7 facteurs 2 : c'est 2^7. Les règles (base a non nulle, exposants m et n entiers relatifs) •Produit : a^m a^n = a^m+n, on additionne les exposants. •Quotient : a^m/a^n = a^m-n, on soustrait l'exposant du dénominateur. Exemple : 2^6/2^2 = 2 2 2 2 2 2/2 2 = 2^4. •Puissance d'une puissance : (a^m)^n = a^m n, on multiplie les exposants. Exemple : (2^3)^2 = 2^3 2^3 = 2^6. •Même exposant, bases différentes : a^n b^n = (a b)^n et a^n/b^n = (a/b)^n. Exemple : 2^5 5^5 = (2 5)^5 = 10^5 = 100\,000. •Ces règles restent vraies avec des exposants nuls ou négatifs : 3^2 3^-2 = 3^0 = 1. a^m a^n = a^m+n a^m/a^n = a^m-n (a^m)^n = a^m n Méthode : simplifier une expression 1. Vérifier que les puissances ont la même base ; sinon, essayer de s'y ramener : 4 = 2^2, 8 = 2^3, 9 = 3^2, 25 = 5^2. 2. Traiter d'abord les puissances de puissances, puis le numérateur et le dénominateur. 3. Appliquer la règle : produit, somme des exposants ; quotient, différence ; puissance de puissance, produit. Mettre entre parenthèses un exposant négatif que l'on soustrait : 3^23^-4 = 3^2-(-4) = 3^6. 4. Calculer la valeur seulement à la fin, si elle est demandée : (7^3)^2/7^4 = 7^6/7^4 = 7^2 = 49. Pas de règle pour les sommes Il n'existe aucune règle pour une somme ou une différence de puissances : 2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24, alors que 2^7 = 128. Un produit de bases et d'exposants tous différents ne se simplifie pas non plus : 2^3 3^2 = 8 9 = 72. Enfin, la base ne se multiplie jamais : 2^3 2^4 = 2^7, et non 4^7.

Dans ce chapitre

• Carré et cube d'un nombre positif de 5ème
• Priorités opératoires et rôle des parenthèses de 5ème
• Égalité de fractions et simplification de 5ème
• Définition de a^n pour un exposant entier positif et convention a^0 = 1
• Puissances à exposants entiers négatifs et inverse a^-n
• Signe d'une puissance et distinction entre (-a)^n et -a^n
• Règles de calcul sur les puissances de même base
• Priorités des puissances dans les enchaînements de calculs
• Écrire un entier ou une fraction sous la forme d'une puissance a^n ou a^-n
• Puissances d'un produit et d'un quotient : formules (ab)^n et (a/b)^n
• Sommes et différences de puissances : calcul direct et factorisation simple
• Comparaison et encadrement de puissances d'entiers et de nombres entre 0 et 1
• Résolution de problèmes et modélisation par des puissances successives
• Bilan : Synthèse et méthode sur les puissances d'un nombre