Développement avec un facteur négatif ou littéral par distributivité simple

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Distribuer un facteur négatif inverse le signe de chaque terme : -k(a - b) = -ka + kb. • Distribuer un terme en x génère des termes en x^2 : -2x(3x - 5) = -6x^2 + 10x. • Moins par moins donne plus : attention au second terme lors du développement.

Le cours

1. Distribuer un facteur négatif : -k(a + b) Lorsque le facteur commun distribué est un nombre négatif, on applique la règle des signes à chaque produit. Chaque terme situé à l'intérieur de la parenthèse change de signe lors du développement : -k(a + b) = (-k) a + (-k) b = -ka - kb -k(a - b) = (-k) a - (-k) b = -ka + kb Par exemple, -4(3x - 5) = (-4) 3x + (-4) (-5) = -12x + 20. Le produit de deux nombres négatifs donne un résultat positif, ce qui transforme le signe moins intérieur en signe plus. 2. Distribuer un facteur contenant la lettre x Le facteur distribué peut également être une variable seule (x ou -x) ou un monôme (2x, -3x). On applique les règles du calcul littéral sur les puissances (x x = x^2) et sur les coefficients numériques : x(4x - 7) = x 4x - x 7 = 4x^2 - 7x -3x(2x - 5) = (-3x) 2x + (-3x) (-5) = -6x^2 + 15x Le produit d'un terme en x par un terme en x produit systématiquement un terme en x^2. On ordonne toujours le résultat final selon les puissances décroissantes de x. 3. Erreur fréquente L'erreur la plus courante est d'oublier de distribuer le signe moins au second terme de la parenthèse : écrire -3(2x - 4) = -6x - 12 est faux ! Le facteur -3 multiplie à la fois 2x et -4, ce qui donne (-3) (-4) = +12, soit le résultat correct -6x + 12.

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