Factorisation avec facteur commun et programmes de calculs

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Factoriser : transformer une somme en produit, ka + kb = k(a + b). • Le facteur commun peut être un nombre, la lettre x ou un produit comme 6x ; on le choisit le plus grand possible. • Quand un terme est égal au facteur commun, il reste 1 : 7x + 7 = 7(x + 1). • Programme de calcul : nommer x le nombre de départ, traduire, puis développer ou factoriser pour conclure.

Le cours

1. Factoriser Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en produit. On lit la distributivité de droite à gauche : ka + kb = k(a + b) ka - kb = k(a - b) Le facteur commun k peut être un nombre, la lettre x, ou un produit comme 3x. Ainsi 12x + 18 = 6 2x + 6 3 = 6(2x + 3), car 6 est le plus grand nombre qui divise à la fois 12 et 18 ; et 5x^2 - 7x = x 5x - x 7 = x(5x - 7). 2. Factoriser complètement On choisit le plus grand facteur commun possible. 12x^2 - 18x = 2x(6x - 9) est bien un produit, mais 6x - 9 contient encore le facteur 3 : la factorisation complète est 12x^2 - 18x = 6x(2x - 3). Le facteur commun peut même être une parenthèse entière : 3(x + 1) + x(x + 1) = (x + 1)(3 + x). 3. Méthode Écrire chaque terme comme un produit qui fait apparaître le facteur commun. Placer ce facteur devant une parenthèse. Écrire dans la parenthèse ce qui reste de chaque terme, avec son signe. Vérifier en redéveloppant, puis s'assurer que la parenthèse n'a plus de facteur commun. 4. Programmes de calcul et preuves Pour prouver qu'un programme de calcul donne toujours le même type de résultat, on appelle x le nombre choisi, on traduit chaque instruction, puis on développe ou on factorise. Par exemple, « choisir un nombre, ajouter 3, multiplier par 2, soustraire 6 » donne 2(x + 3) - 6 = 2x + 6 - 6 = 2x : le résultat est toujours le double du nombre choisi. Le 1 qui reste Dans 3x + 3, le second terme est égal au facteur commun : 3 = 3 1. Donc 3x + 3 = 3(x + 1), et surtout pas 3x ni 3(x). Redévelopper le montre aussitôt : 3(x) = 3x, il manque le 3.

Dans ce chapitre

• Simple distributivité k(a+b) et réduction de 5ème
• Conventions d'écriture et calcul de la valeur d'une expression littérale de 5ème
• Vocabulaire du calcul littéral : termes, facteurs, sommes et produits de 5ème
• Réduction et simplification d'expressions littérales complexes
• Double distributivité : développement de (a+b)(c+d)
• Règles de suppression des parenthèses précédées d'un signe + ou -
• Double distributivité avec des signes négatifs
• Développer et réduire des expressions de degré 2 de la forme (ax+b)(cx+d)
• Développement d'expressions complexes avec soustractions de parenthèses
• Factorisation avec facteur commun et programmes de calculs
• Développement avec un facteur négatif ou littéral par distributivité simple
• Démontrer la validité d'une égalité littérale ou la réfuter par un contre-exemple
• Modélisation géométrique : exprimer et développer des aires et périmètres
• Bilan : Synthèse et méthode sur la double distributivité et la réduction