Modélisation géométrique : exprimer et développer des aires et périmètres

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Le périmètre s'obtient en additionnant les côtés extérieurs : expression de degré 1 en x. • L'aire d'un rectangle est le produit longueur largeur : expression développée de degré 2 en x^2. • L'aire d'une bordure est la différence entre l'aire du contour extérieur et l'aire intérieure.

Le cours

1. Exprimer des longueurs et des périmètres en fonction de x En géométrie, lorsqu'une dimension dépend d'une lettre x, on exprime les autres dimensions par des formules algébriques. Le périmètre d'un polygone s'obtient en additionnant la longueur de tous ses côtés extérieurs : Pour un rectangle de côtés x et 2x + 3 : P = 2 [x + (2x + 3)] = 2 (3x + 3) = 6x + 6 Le périmètre d'une figure s'exprime toujours par une expression du premier degré en x (degré 1) et se mesure en unités de longueur (cm, m). 2. Exprimer des aires et développer par double distributivité L'aire d'un rectangle de côtés (x + a) et (x + b) est donnée par le produit de sa longueur par sa largeur. On développe cette aire grâce à la double distributivité : A = (x + a)(x + b) = x^2 + bx + ax + ab = x^2 + (a + b)x + ab Pour une figure complexe comportant une bordure ou une zone évidée (comme une allée autour d'un parterre de fleurs ou un cadre autour d'une photo), l'aire de la zone restante s'obtient en soustrayant l'aire de la partie intérieure de l'aire totale extérieure. 3. Erreur fréquente Une confusion classique consiste à mélanger le périmètre et l'aire. Le périmètre s'obtient en additionnant des longueurs (degré 1 en x), alors que l'aire s'obtient en multipliant deux dimensions (degré 2 avec des termes en x^2). De plus, n'oubliez jamais de vérifier que la variable x a une valeur positive compatible avec les dimensions de la figure.

Dans ce chapitre

• Simple distributivité k(a+b) et réduction de 5ème
• Conventions d'écriture et calcul de la valeur d'une expression littérale de 5ème
• Vocabulaire du calcul littéral : termes, facteurs, sommes et produits de 5ème
• Réduction et simplification d'expressions littérales complexes
• Double distributivité : développement de (a+b)(c+d)
• Règles de suppression des parenthèses précédées d'un signe + ou -
• Double distributivité avec des signes négatifs
• Développer et réduire des expressions de degré 2 de la forme (ax+b)(cx+d)
• Développement d'expressions complexes avec soustractions de parenthèses
• Factorisation avec facteur commun et programmes de calculs
• Développement avec un facteur négatif ou littéral par distributivité simple
• Démontrer la validité d'une égalité littérale ou la réfuter par un contre-exemple
• Modélisation géométrique : exprimer et développer des aires et périmètres
• Bilan : Synthèse et méthode sur la double distributivité et la réduction