Démontrer la validité d'une égalité littérale ou la réfuter par un contre-exemple

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Un seul contre-exemple numérique suffit à prouver qu'une égalité littérale est fausse. • Pour prouver qu'une égalité est vraie pour tout nombre, on développe et réduit séparément chaque membre. • Vérifier une formule sur quelques exemples ne constitue jamais une preuve mathématique.

Le cours

1. Réfuter une égalité à l'aide d'un contre-exemple Pour prouver qu'une égalité entre deux expressions littérales est fausse, il suffit de trouver une seule valeur numérique de la variable pour laquelle les deux membres ne donnent pas le même résultat. Cette valeur est appelée un contre-exemple. Affirmation : (x + 2)^2 = x^2 + 4. Testons pour x = 1 : Membre de gauche : (1 + 2)^2 = 3^2 = 9. Membre de droite : 1^2 + 4 = 1 + 4 = 5. Comme 9 5, l'égalité est fausse en général : x = 1 est un contre-exemple. Un seul contre-exemple suffit mathématiquement à réfuter une formule pour toujours. 2. Démontrer qu'une égalité littérale est toujours vraie Tester des valeurs numériques ne permet JAMAIS d'affirmer qu'une égalité est toujours vraie (car il existe une infinité de nombres réels et on ne peut pas tous les tester). Pour démontrer qu'une égalité est toujours vérifiée, il faut utiliser le calcul littéral : Méthode : développer et réduire séparément chaque membre de l'égalité. Si les deux membres se réduisent exactement à la même expression algébrique ordonnée, alors l'égalité est démontrée pour tout nombre x. On peut également partir du membre de gauche et le transformer par développement et factorisation successifs pour parvenir au membre de droite. 3. Erreur fréquente Croire qu'une égalité est vraie parce qu'elle fonctionne pour x = 0 ou x = 1 est une erreur de raisonnement majeure. Par exemple, l'égalité x^2 = x est vérifiée pour x = 0 (0^2 = 0) et pour x = 1 (1^2 = 1), mais elle est fausse pour x = 2 (2^2 = 4 2). Vérifier n'est pas démontrer !

Dans ce chapitre

• Simple distributivité k(a+b) et réduction de 5ème
• Conventions d'écriture et calcul de la valeur d'une expression littérale de 5ème
• Vocabulaire du calcul littéral : termes, facteurs, sommes et produits de 5ème
• Réduction et simplification d'expressions littérales complexes
• Double distributivité : développement de (a+b)(c+d)
• Règles de suppression des parenthèses précédées d'un signe + ou -
• Double distributivité avec des signes négatifs
• Développer et réduire des expressions de degré 2 de la forme (ax+b)(cx+d)
• Développement d'expressions complexes avec soustractions de parenthèses
• Factorisation avec facteur commun et programmes de calculs
• Développement avec un facteur négatif ou littéral par distributivité simple
• Démontrer la validité d'une égalité littérale ou la réfuter par un contre-exemple
• Modélisation géométrique : exprimer et développer des aires et périmètres
• Bilan : Synthèse et méthode sur la double distributivité et la réduction