Double distributivité : développement de (a+b)(c+d)

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd : chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second. • Deux termes fois deux termes : quatre produits avant réduction. • On réduit ensuite les termes semblables, puis on ordonne le résultat. • En aires : le grand rectangle est formé de quatre petits rectangles.

Le cours

1. La propriété Pour tous nombres a, b, c et d : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : deux termes fois deux termes, soit quatre produits. On réduit ensuite les termes semblables. 2. Pourquoi c'est vrai On applique deux fois la distributivité simple. En traitant d'abord (c + d) comme un seul nombre k, on a (a + b)k = ak + bk, donc : (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd Avec des longueurs, c'est une égalité d'aires : le rectangle de côtés a + b et c + d est formé de quatre rectangles d'aires ac, bc, ad et bd. a b c d ac bc ad bd 3. Méthode Distribuer le premier terme du premier facteur sur la seconde parenthèse, puis le second terme. Écrire les quatre produits avant de les calculer. Réduire les termes semblables (souvent les deux termes en x) et ordonner. Contrôler avec une valeur simple de x. Exemple : (x + 3)(2x + 5) = 2x^2 + 5x + 6x + 15 = 2x^2 + 11x + 15. La propriété sert aussi en calcul mental : 103 105 = (100 + 3)(100 + 5) = 10\,000 + 500 + 300 + 15 = 10\,815. Attention aux produits croisés (a + b)(c + d) n'est pas égal à ac + bd : il manque les produits croisés ad et bc. Par exemple (2 + 1)(2 + 1) = 9, alors que 2 2 + 1 1 = 5.

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