Développement d'expressions complexes avec soustractions de parenthèses

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Un signe - devant un produit porte sur tout le résultat du produit. • On développe d'abord le produit entre crochets, et on réduit l'intérieur. • On supprime ensuite le crochet en changeant le signe de chaque terme : -[x^2 - x - 6] = -x^2 + x + 6. • Un carré se développe comme un produit : (x - 2)^2 = (x - 2)(x - 2).

Le cours

1. Un signe moins devant un produit Dans 3x^2 - (x + 2)(x - 3), le signe - porte sur le résultat du produit entier. La multiplication étant prioritaire sur la soustraction, on développe d'abord le produit, puis on soustrait tous les termes obtenus : -(x + 2)(x - 3) = -[x^2 - x - 6] = -x^2 + x + 6 2. Un carré est un produit (x - 2)^2 signifie (x - 2)(x - 2) : on le développe par double distributivité, (x - 2)^2 = x^2 - 2x - 2x + 4 = x^2 - 4x + 4. Écrire (x - 2)^2 = x^2 - 4 est faux : pour x = 0, (0 - 2)^2 = 4 et non -4. 3. Méthode des crochets Recopier le signe - et ouvrir un crochet : -[\;\;]. Développer le produit à l'intérieur du crochet. Réduire l'intérieur du crochet. Supprimer le crochet en changeant le signe de chaque terme. Réduire l'expression complète et l'ordonner. Exemple : 3x^2 - (x + 2)(x - 3) = 3x^2 - [x^2 - 3x + 2x - 6] = 3x^2 - [x^2 - x - 6] = 3x^2 - x^2 + x + 6 = 2x^2 + x + 6. Deux erreurs classiques Ne changer que le premier signe : -[x^2 - x - 6] recopié en -x^2 - x - 6. Commencer par la soustraction : dans 7 - (3x - 1)(x + 2), calculer d'abord 7 - (3x - 1) ne respecte pas la priorité du produit. On trouve en réalité 7 - [3x^2 + 5x - 2] = -3x^2 - 5x + 9.

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