Développer et réduire des expressions de degré 2 de la forme (ax+b)(cx+d)

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• ax cx = ac\,x^2 : deux termes en x donnent un terme en x^2. • (ax + b)(cx + d) = ac\,x^2 + (ad + bc)\,x + bd. • Résultat ordonné : terme en x^2, terme en x, nombre. • Les termes en x peuvent s'annuler : (4x - 3)(4x + 3) = 16x^2 - 9.

Le cours

1. Le produit de deux termes en x Le produit de deux termes en x est un terme en x^2 : on multiplie les coefficients, et x x = x^2. ax cx = (a c)\,x^2 2x 3x = 6x^2 Un produit de la forme (ax + b)(cx + d), avec a et c non nuls, se développe donc en une expression du second degré : un terme en x^2, un terme en x et un nombre. 2. La forme développée générale (ax + b)(cx + d) = ac\,x^2 + (ad + bc)\,x + bd coefficient de x^2 : produit des coefficients de x, soit a c ; nombre seul : produit des deux nombres, soit b d ; coefficient de x : somme des deux produits croisés, soit a d + b c. Exemple : pour (3x + 1)(2x - 5), on trouve 3 2 = 6, 1 (-5) = -5 et 3 (-5) + 1 2 = -13, donc (3x + 1)(2x - 5) = 6x^2 - 13x - 5. 3. Méthode Écrire les quatre produits, sans en sauter. Multiplier les termes en x entre eux pour obtenir le terme en x^2. Additionner les deux termes en x. Ordonner : terme en x^2, puis terme en x, puis nombre. Contrôler avec x = 1 : la forme développée vaut alors la somme de ses coefficients. Cas particuliers Les deux termes en x peuvent s'annuler : (4x - 3)(4x + 3) = 16x^2 + 12x - 12x - 9 = 16x^2 - 9. Le coefficient de x^2 peut aussi être négatif, quand un facteur s'écrit par exemple (1 - 3x) : on place quand même le terme en x^2 en premier.

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