Approcher la solution d'une équation par essais successifs (tableur, algorithme) — 4ème

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• La méthode par balayage consiste à tester des valeurs ordonnées pour encadrer la solution d'une équation. • Un changement de signe de la différence entre les deux membres indique que la solution se trouve entre ces deux valeurs. • Au tableur, on étire les formules de chaque membre pour observer le point où ils deviennent égaux. • On affine ensuite la précision en divisant le pas de recherche par 10 à chaque étape.

Le cours

1. Résolution approchée par encadrement et balayage Lorsque la résolution algébrique exacte d'une équation est complexe, ou pour anticiper sa solution, on peut utiliser une méthode d'essais successifs appelée balayage. Cette méthode consiste à tester différentes valeurs de l'inconnue pour observer l'évolution de la différence entre les deux membres de l'équation. Équation f(x) = g(x) ou expression E(x) = 0. On cherche la valeur de x pour laquelle le membre de gauche et le membre de droite sont les plus proches possibles. Si pour une valeur x_1 le membre de gauche est inférieur au membre de droite, et que pour x_2 il devient supérieur, alors la solution de l'équation se situe entre x_1 et x_2. On resserre ensuite l'intervalle avec un pas plus fin. 2. Utilisation d'un tableur pour automatiser les calculs Le tableur permet de générer rapidement un tableau de valeurs en faisant varier l'inconnue avec un pas régulier (par exemple 1, puis 0,1, puis 0,01) grâce à la copie de formules vers le bas. Colonne A : valeurs testées pour x (ex : dans A2 taper 0, dans A3 taper =A2+0,1 puis étirer). Colonne B : formule calculant le membre de gauche (ex : =3*A2+4). Colonne C : formule calculant le membre de droite (ex : =15-2*A2). Colonne D : écart =B2-C2 pour repérer l'annulation ou le changement de signe. La solution cherchée correspond à la ligne où l'écart est égal à zéro, ou à défaut la ligne où l'écart passe d'une valeur négative à une valeur positive. 3. Erreur fréquente Confondre valeur exacte et valeur approchée : si le tableau donne x = 2,4 avec un écart de 0,05, 2,4 n'est pas la solution exacte mais une valeur approchée. Pour affirmer qu'une valeur est exacte, le calcul de chaque membre doit donner exactement le même nombre sans aucun résidu.

Dans ce chapitre

• Tester une égalité pour des valeurs données de 5ème
• Priorités opératoires et programmes de calcul de 5ème
• Réduire une expression littérale et distributivité simple de 5ème
• Vocabulaire des équations : inconnue, membres et notion de solution
• Résolution d'équations de base de la forme x+a=b et ax=b
• Résolution d'équations de la forme ax+b=c
• Résolution d'équations avec l'inconnue dans les deux membres ax+b=cx+d
• Mise en équation et résolution de problèmes de la vie courante
• Remonter un programme de calcul pour retrouver le nombre de départ — 4ème
• Approcher la solution d'une équation par essais successifs (tableur, algorithme) — 4ème
• Développer et réduire avant de résoudre une équation : parenthèses et signe moins
• Équations à coefficients fractionnaires : multiplication par un dénominateur commun
• Mettre en équation un problème de géométrie : périmètres, aires et angles d'un triangle
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations du premier degré