Équations à coefficients fractionnaires : multiplication par un dénominateur commun

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Pour supprimer les fractions, on multiplie les deux membres par un dénominateur commun non nul. • Chaque terme de l'équation, sans exception (y compris les nombres entiers), doit être multiplié par ce facteur. • On simplifie les fractions avant de développer pour travailler uniquement avec des coefficients entiers. • On résout l'équation entière obtenue et on vérifie la solution dans l'équation initiale.

Le cours

1. Éliminer les dénominateurs d'une équation Une équation comportant des fractions peut être transformée en une équation équivalente à coefficients entiers, beaucoup plus simple à résoudre. Pour cela, on détermine un dénominateur commun à toutes les fractions présentes dans l'égalité, puis on multiplie chaque membre de l'équation par ce nombre entier non nul. Règle : Si A/d = B, alors en multipliant par d, on obtient A = d B. Avec plusieurs dénominateurs, on multiplie par leur plus petit multiple commun (PPMC). Cette multiplication s'applique à la totalité de chaque membre : chaque terme de l'égalité doit être multiplié par le dénominateur commun sans exception. 2. Méthode pas à pas avec exemple Considérons l'équation x/3 + 1/2 = 5/6. Les dénominateurs sont 3, 2 et 6. Leur multiple commun le plus simple est 6. 1. Multiplier les deux membres par 6 : 6 (x/3 + 1/2) = 6 5/6. 2. Distribuer le facteur 6 à chaque fraction : 6 x/3 + 6 1/2 = 6 5/6. 3. Simplifier avant de calculer : 2x + 3 = 5. 4. Résoudre l'équation obtenue : 2x = 5 - 3 = 2 x = 1. Lorsque le numérateur d'une fraction est une expression composée comme 2x - 1/4, on place ce numérateur entre parenthèses lors de la simplification : 12 2x-1/4 = 3(2x - 1). 3. Erreur fréquente Oublier de multiplier les termes entiers par le dénominateur commun. Dans l'équation x/4 + 3 = 5, multiplier par 4 donne x + 12 = 20, et non x + 3 = 20. Le terme constant +3 doit impérativement être multiplié par 4 comme les autres.

Dans ce chapitre

• Tester une égalité pour des valeurs données de 5ème
• Priorités opératoires et programmes de calcul de 5ème
• Réduire une expression littérale et distributivité simple de 5ème
• Vocabulaire des équations : inconnue, membres et notion de solution
• Résolution d'équations de base de la forme x+a=b et ax=b
• Résolution d'équations de la forme ax+b=c
• Résolution d'équations avec l'inconnue dans les deux membres ax+b=cx+d
• Mise en équation et résolution de problèmes de la vie courante
• Remonter un programme de calcul pour retrouver le nombre de départ — 4ème
• Approcher la solution d'une équation par essais successifs (tableur, algorithme) — 4ème
• Développer et réduire avant de résoudre une équation : parenthèses et signe moins
• Équations à coefficients fractionnaires : multiplication par un dénominateur commun
• Mettre en équation un problème de géométrie : périmètres, aires et angles d'un triangle
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations du premier degré