Résolution d'équations avec l'inconnue dans les deux membres ax+b=cx+d

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• On rassemble les termes en x dans un membre en ajoutant ou en soustrayant un même terme en x aux deux membres. • On rassemble ensuite les nombres dans l'autre membre pour obtenir Ax = B. • ax + b = cx + d devient (a - c)x = d - b ; si a c, x = d - b/a - c. • S'il y a des parenthèses, on développe et on réduit chaque membre avant de regrouper.

Le cours

Se ramener à Ax = B Lorsque l'inconnue figure dans les deux membres, on la rassemble d'un seul côté : on soustrait (ou on ajoute) un même terme en x aux deux membres, ce qui le fait disparaître d'un côté, puis on regroupe les nombres de l'autre côté. ax + b = cx + d devient (a - c)x = d - b Si a c, on termine en divisant les deux membres par a - c. Méthode sur un exemple Résoudre 7x - 4 = 2x + 11. Rassembler les termes en x : on soustrait 2x aux deux membres, 5x - 4 = 11. Rassembler les nombres : on ajoute 4 aux deux membres, 5x = 15. Diviser par le coefficient : x = 15/5 = 3. Vérifier : 7 3 - 4 = 17 et 2 3 + 11 = 17. Avec des parenthèses On commence par développer et réduire chaque membre, puis on applique la méthode. Pour 3(x - 2) = 5x + 4 : on obtient 3x - 6 = 5x + 4, donc 3x - 5x = 4 + 6, soit -2x = 10 et x = -5. Une parenthèse précédée d'un signe - change le signe de chacun de ses termes : -(x - 4) = -x + 4. Cas particuliers Si les termes en x s'éliminent, il reste une égalité sans inconnue : 4x + 1 = 4x - 3 donne 0x = -4, soit 0 = -4 : c'est faux pour tout x, l'équation n'a aucune solution. 2(x + 5) = 2x + 10 donne 0x = 0 : c'est vrai pour tout x, tous les nombres sont solutions. Attention aux signes Soustraire 2x aux deux membres de 5x + 1 = 2x - 8 donne 3x + 1 = -8 : le terme 2x disparaît à droite parce qu'on l'a retiré des deux côtés. Pour éviter les coefficients négatifs, rassemble les x du côté où leur coefficient est le plus grand.

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