Mettre en équation un problème de géométrie : périmètres, aires et angles d'un triangle

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• On choisit une inconnue x correspondant à la dimension demandée en précisant son unité. • On exprime les grandeurs géométriques en fonction de x avec les formules usuelles de périmètre, aire ou angles. • On résout l'équation obtenue et on s'assure que la solution trouvée est strictement positive. • On rédige une phrase de conclusion claire mentionnant l'unité de mesure du problème.

Le cours

1. La démarche de modélisation géométrique De nombreux problèmes de géométrie consistent à déterminer une dimension inconnue (longueur d'un côté, rayon, mesure d'un angle) respectant une condition donnée sur un périmètre, une aire ou une relation entre figures. La résolution passe par une mise en équation rigoureuse en quatre étapes : 1. Choix de l'inconnue : poser clairement « Soit x la longueur cherchée en cm ». 2. Traduction : écrire les grandeurs du problème en fonction de x avec les formules du cours. 3. Équation : écrire l'égalité imposée par l'énoncé et la résoudre algébriquement. 4. Conclusion et contrôle : vérifier la cohérence géométrique (longueur strictement positive). 2. Propriétés géométriques fondamentales à mobiliser Les relations mathématiques les plus couramment utilisées en 4ème pour construire les équations sont : • Somme des angles d'un triangle : la somme des trois angles vaut toujours 180^. • Périmètres : rectangle P = 2(L + ), triangle P = a + b + c, carré P = 4c. • Aires usuelles : rectangle A = L , triangle A = base hauteur2. Ces propriétés permettent de transformer directement une condition géométrique en une égalité algébrique d'inconnue x. 3. Erreur fréquente Accepter une solution algébrique sans vérifier sa faisabilité géométrique. Par exemple, si la résolution d'une équation donne x = -4 pour une longueur, ce résultat est impossible en géométrie. De même, la somme des deux plus petits côtés d'un triangle doit toujours être strictement supérieure au troisième côté (inégalité triangulaire).

Dans ce chapitre

• Tester une égalité pour des valeurs données de 5ème
• Priorités opératoires et programmes de calcul de 5ème
• Réduire une expression littérale et distributivité simple de 5ème
• Vocabulaire des équations : inconnue, membres et notion de solution
• Résolution d'équations de base de la forme x+a=b et ax=b
• Résolution d'équations de la forme ax+b=c
• Résolution d'équations avec l'inconnue dans les deux membres ax+b=cx+d
• Mise en équation et résolution de problèmes de la vie courante
• Remonter un programme de calcul pour retrouver le nombre de départ — 4ème
• Approcher la solution d'une équation par essais successifs (tableur, algorithme) — 4ème
• Développer et réduire avant de résoudre une équation : parenthèses et signe moins
• Équations à coefficients fractionnaires : multiplication par un dénominateur commun
• Mettre en équation un problème de géométrie : périmètres, aires et angles d'un triangle
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations du premier degré