Résolution d'équations de base de la forme x+a=b et ax=b

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres ne change pas les solutions. • Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul ne les change pas non plus. • x + a = b donne x = b - a ; ax = b (avec a 0) donne x = b/a ; x/a = b donne x = ab. • Une solution qui ne tombe pas juste s'écrit en fraction : 3x = 7 donne x = 7/3.

Le cours

Deux règles qui ne changent pas les solutions Une équation se comporte comme une balance en équilibre : si l'on fait la même chose sur les deux plateaux, l'équilibre est conservé. Règle 1 : on peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres. Si A = B, alors A + c = B + c et A - c = B - c. Règle 2 : on peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul. Si A = B et k 0, alors k A = k B et A/k = B/k. L'équation obtenue a exactement les mêmes solutions que l'équation de départ. Isoler x par l'opération inverse x + a = b : on soustrait a aux deux membres, x = b - a. Exemple : x + 7 = 3 donne x = 3 - 7 = -4. x - a = b : on ajoute a aux deux membres, x = b + a. Exemple : x - 9 = -4 donne x = -4 + 9 = 5. ax = b avec a 0 : on divise les deux membres par a, x = b/a. Exemple : -5x = 35 donne x = 35/-5 = -7. x/a = b : on multiplie les deux membres par a, x = a b. Exemple : x/3 = 1,2 donne x = 3 1,2 = 3,6. Rédiger la résolution On écrit une ligne par transformation, en montrant l'opération faite des deux côtés : x - 4,5 = 2 x - 4,5 + 4,5 = 2 + 4,5 x = 6,5 La solution de l'équation est 6,5. Quand la division ne tombe pas juste, on donne la valeur exacte sous forme de fraction : 3x = 7 donne x = 7/3. L'écriture 2,33 n'en est qu'une valeur approchée, qui ne vérifie pas l'équation, car 3 2,33 = 6,99. Attention aux confusions Dans -5x = 35, x est multiplié par -5 : on divise par -5, on n'ajoute pas 5. De même, -x = 8 signifie (-1) x = 8, donc x = -8. Enfin, on ne divise jamais par 0 : l'équation 0 x = 4 n'a aucune solution, puisque 0 x vaut toujours 0.

Dans ce chapitre

• Tester une égalité pour des valeurs données de 5ème
• Priorités opératoires et programmes de calcul de 5ème
• Réduire une expression littérale et distributivité simple de 5ème
• Vocabulaire des équations : inconnue, membres et notion de solution
• Résolution d'équations de base de la forme x+a=b et ax=b
• Résolution d'équations de la forme ax+b=c
• Résolution d'équations avec l'inconnue dans les deux membres ax+b=cx+d
• Mise en équation et résolution de problèmes de la vie courante
• Remonter un programme de calcul pour retrouver le nombre de départ — 4ème
• Approcher la solution d'une équation par essais successifs (tableur, algorithme) — 4ème
• Développer et réduire avant de résoudre une équation : parenthèses et signe moins
• Équations à coefficients fractionnaires : multiplication par un dénominateur commun
• Mettre en équation un problème de géométrie : périmètres, aires et angles d'un triangle
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations du premier degré