Simuler une expérience aléatoire : fluctuation des fréquences — 4ème

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Simuler une expérience aléatoire consiste à remplacer un tirage réel par un modèle numérique (tableur, code). • La fréquence observée d'une issue varie d'une série à l'autre : c'est la fluctuation des fréquences. • Quand le nombre de répétitions augmente considérablement, la fréquence observée se stabilise vers la probabilité théorique.

Le cours

1. Principe de la simulation d'une expérience aléatoire Lorsque la réalisation matérielle d'une expérience aléatoire est trop longue ou coûteuse, on utilise des outils numériques pour la simuler. Un tableur ou un programme informatique génère des nombres pseudo-aléatoires qui imitent fidèlement les lois de probabilité du phénomène : Sur un tableur : la formule =ALEA.ENTRE.BORNES(1; 6) simule le lancer d'un dé cubique. En programmation : des fonctions aléatoires permettent de répéter instantanément des milliers d'épreuves. Simuler une expérience permet de collecter de grands échantillons de données statistiques pour en analyser le comportement régulier. 2. Fluctuation d'échantillonnage et stabilisation des fréquences D'un échantillon à un autre de même taille, la fréquence observée d'une issue varie : ce phénomène est appelé la fluctuation des fréquences. Cependant, une propriété fondamentale se dégage quand la taille de l'échantillon grandit : Pour un petit nombre d'essais (N = 20), la fréquence oscille fortement autour de la probabilité théorique. Lorsque le nombre d'essais N devient très grand (N = 1\,000, 10\,000), la fréquence observée se stabilise et se rapproche de la probabilité théorique de l'événement. Ce rapprochement progressif de la fréquence observée vers la probabilité théorique constitue la loi des grands nombres. 3. Erreur fréquente Gare à l'illusion du joueur ! Le hasard n'a pas de mémoire : si une pièce équilibrée est tombée 5 fois de suite sur Pile lors d'une simulation, la probabilité d'obtenir Face au lancer suivant reste exactement de 0,5. La stabilisation de la fréquence sur le long terme ne provient pas d'une compensation magique des tirages futurs, mais de la dilution des premiers tirages dans un nombre total d'essais gigantesque.

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