Jeu équitable ou non : comparaison des probabilités de gain

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Un jeu à deux joueurs est équitable si les probabilités de victoire sont strictement identiques. • On dresse l'arbre ou le tableau de toutes les issues élémentaires pour compter les victoires de chaque joueur. • Si une probabilité dépasse l'autre, le jeu est inéquitable au profit de ce joueur.

Le cours

1. Qu'est-ce qu'un jeu équitable ? Dans le cadre des jeux de hasard opposant deux joueurs, la notion d'équité repose sur la comparaison de leurs chances de victoire : Un jeu opposant deux adversaires est équitable si les deux joueurs ont exactement la même probabilité de gagner : P(Gain de Joueur 1) = P(Gain de Joueur 2) Si l'un des joueurs a une probabilité strictement supérieure à l'autre, le jeu est dit inéquitable (ou biaisé), et le joueur avantagé possède une espérance de victoire supérieure sur le long terme. 2. Méthode pour déterminer si un jeu à deux épreuves est équitable Pour juger de l'équité d'un jeu sans se laisser tromper par l'intuition, on suit une démarche systématique : 1. Construire l'univers complet des issues possibles (arbre de probabilités ou tableau à double entrée). 2. Identifier rigoureusement les issues favorables à chaque participant. 3. Calculer les probabilités de gain de chacun et les comparer. Prenez en compte les cas d'égalité ou de partie nulle éventuels : ils ne doivent être attribués ni à l'un ni à l'autre des joueurs. 3. Erreur fréquente Méfiez-vous des symétries trompeuses ! Par exemple, dans un lancer de deux dés, considérer que « somme paire » et « somme impaire » sont équitables est exact (18 issues chacun), mais penser que « produit pair » et « produit impair » sont équiprobables est une erreur classique : un produit est pair dès qu'au moins un dé est pair, ce qui donne 27 issues paires contre seulement 9 impaires !

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