Représentation par un arbre de probabilités et comptage des issues

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• 1er niveau de branches : issues de la 1re épreuve ; 2e niveau : issues de la 2e épreuve. • Un chemin complet, de la racine à une extrémité, représente une issue. • n branches au 1er niveau, puis m après chacune : n m chemins. • Les probabilités des branches issues d'un même nœud ont pour somme 1.

Le cours

Un arbre pour deux épreuves Un arbre se lit de gauche à droite, de la racine vers les extrémités. Il convient à toutes les expériences à deux épreuves, en particulier quand la seconde épreuve dépend du premier résultat. Construire l'arbre De la racine partent les branches de la 1re épreuve : une branche par issue. Au bout de chacune de ces branches partent celles de la 2e épreuve. Un chemin complet, de la racine à une extrémité, représente une issue : on écrit le couple au bout du chemin. Avec n branches au 1er niveau et m branches après chacune d'elles, l'arbre compte n m chemins. Inscrire les probabilités sur les branches Sur chaque branche, on peut écrire la probabilité de l'issue correspondante, calculée comme en 5ème pour une seule épreuve. Exemple : une urne contient 2 boules rouges (R) et 1 boule bleue (B) ; on tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. RB2/31/3R2/3(R ; R)B1/3(R ; B)R2/3(B ; R)B1/3(B ; B) Règle des nœuds : les branches issues d'un même nœud représentent toutes les issues d'une épreuve, donc la somme de leurs probabilités vaut 1 : 2/3 + 1/3 = 1. Si l'on numérote les boules R_1, R_2 et B, l'arbre des possibles a 3 3 = 9 chemins, tous de même chance. L'arbre ci-dessus regroupe R_1 et R_2 en une seule branche R de probabilité 2/3 : il n'a que 4 chemins, qui n'ont plus tous la même chance. Méthode 1. Tracer les branches de la 1re épreuve et écrire le résultat au bout de chacune. 2. Au bout de chaque branche, tracer celles de la 2e épreuve, en tenant compte du premier résultat si le tirage est sans remise. 3. Écrire l'issue au bout de chaque chemin et compter les chemins. 4. Si l'on inscrit des probabilités, vérifier en chaque nœud que leur somme vaut 1. Sans remise, les branches changent Dans l'urne précédente, sans remise : après une boule rouge, il reste une rouge et une bleue (probabilités 1/2 et 1/2) ; après la bleue, il ne reste que deux rouges, d'où une seule branche R de probabilité 1. Une branche du premier niveau n'est pas une issue : l'issue n'est connue qu'au bout du chemin.

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