Représentation des issues par un tableau à double entrée

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Lignes : issues de la 1re épreuve ; colonnes : issues de la 2e épreuve. • Chaque case intérieure est une issue ; il y a (nombre de lignes) (nombre de colonnes) cases. • Cases équiprobables : P(E) = cases favorablesnombre total de cases. • Deux tirages sans remise dans une même urne : on barre la diagonale.

Le cours

Une grille pour ne rien oublier Quand chacune des deux épreuves a peu d'issues, un tableau à double entrée permet d'écrire toutes les issues de l'expérience, sans en oublier et sans en compter une deux fois. Construire le tableau Les en-têtes des lignes sont les issues de la 1re épreuve ; ceux des colonnes, les issues de la 2e épreuve. La case de la ligne a et de la colonne b représente l'issue (a ; b). On peut y écrire le couple, ou directement le résultat étudié : somme, produit, écart… Nombre d'issues = nombre de lignes nombre de colonnes. Si les issues de chaque épreuve sont équiprobables et que la seconde épreuve ne dépend pas de la première, toutes les cases ont la même chance : P(E) = nombre de cases favorablesnombre total de cases Exemple : la somme de deux roues On fait tourner une première roue (secteurs égaux 1, 2, 3), puis une seconde (secteurs égaux 1, 2, 3, 4), et l'on ajoute les deux nombres. +1234123452345634567 Le tableau compte 3 4 = 12 cases. La somme 5 apparaît dans 3 cases, celles de (1 ; 4), (2 ; 3) et (3 ; 2) : P(somme = 5) = 3/12 = 1/4. Méthode 1. Tracer la grille : issues de la 1re épreuve à gauche, issues de la 2e en haut. 2. Remplir chaque case avec le couple ou avec le résultat calculé. 3. Colorier les cases qui réalisent l'événement et les compter. 4. Diviser par le nombre total de cases, puis simplifier. Deux tirages sans remise dans la même urne Un objet déjà tiré ne peut pas ressortir : on barre les cases de la diagonale, qui correspondent au même objet tiré deux fois. Avec 4 jetons, il reste 4 4 - 4 = 12 cases. Le tableau ne convient qu'à deux épreuves ; pour trois épreuves, ou quand la seconde change selon le premier résultat, un arbre est plus commode.

Dans ce chapitre

• Vocabulaire des probabilités et équiprobabilité de 5ème
• Événements certains, impossibles, incompatibles et contraires de 5ème
• Fréquence d'une issue : fraction, nombre décimal et pourcentage de 5ème
• Notion d'expérience aléatoire à deux épreuves successives
• Représentation des issues par un tableau à double entrée
• Représentation par un arbre de probabilités et comptage des issues
• Calcul de la probabilité d'une issue par produit des probabilités de branches
• Calcul de probabilités d'événements composés par somme des issues
• Événements et ensembles : réunion, intersection, complémentaire, ensemble vide — 4ème
• Simuler une expérience aléatoire : fluctuation des fréquences — 4ème
• Jeu équitable ou non : comparaison des probabilités de gain
• Tableau croisé d'effectifs : probabilité de choisir au hasard selon deux caractères
• Tirage simultané de deux objets ramené à des tirages successifs sans remise
• Bilan : Synthèse et méthode sur les probabilités à deux épreuves