Bilan : Synthèse et méthode sur les probabilités à deux épreuves

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Les issues d'une expérience à deux épreuves sont des couples, représentés par un tableau ou un arbre. • Le long d'un chemin, on multiplie ; entre plusieurs chemins, on additionne. • P(au moins un) = 1 - P(aucun). • Sans remise, le second tirage se fait avec un objet de moins.

Le cours

Synthèse du chapitre Toute question sur une expérience à deux épreuves se traite en trois temps : décrire les issues, les représenter, puis calculer en multipliant le long des chemins et en additionnant les chemins utiles. On décompose ainsi une situation compliquée en étapes simples. 1. Décrire l'expérience Une issue est un couple ordonné : (P ; F) et (F ; P) sont différentes. Deux objets lancés ensemble se traitent comme deux épreuves successives, en les distinguant. Avec remise, la seconde épreuve se déroule comme la première ; sans remise, un objet tiré ne peut pas ressortir. 2. Choisir la représentation Tableau à double entrée : deux épreuves aux issues peu nombreuses, résultat combiné (somme, produit, écart). Sans remise dans une même urne, on barre la diagonale. Arbre : épreuves de natures différentes, tirage sans remise, probabilités à inscrire sur les branches. 3. Calculer Couples équiprobables : P(E) = couples favorablesnombre total de couples. Le long d'un chemin, on multiplie : P(chemin) = p_1 p_2. Entre plusieurs chemins, on additionne. Contraire : P(E) = 1 - P(E), très utile pour « au moins un ». Méthode en cinq étapes 1. Lire si les tirages se font avec ou sans remise. 2. Construire l'arbre ou le tableau et compléter toutes les probabilités des branches. 3. Traduire l'événement en liste de chemins, sans oublier les deux ordres. 4. Multiplier le long de chaque chemin, puis additionner les chemins retenus, ou passer par le contraire. 5. Contrôler : le résultat est compris entre 0 et 1, et la somme des probabilités de tous les chemins vaut 1. Avec ou sans remise Avec remise, les probabilités du second niveau sont les mêmes qu'au premier. Sans remise, il y a un objet de moins au second tirage : le dénominateur diminue de 1, et le numérateur aussi si l'objet retiré est de la sorte cherchée.

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