Calcul de la probabilité d'une issue par produit des probabilités de branches

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Avec n puis m issues équiprobables, chacun des n m couples a pour probabilité 1/n m. • Probabilité d'un chemin : p_1 p_2, produit des probabilités lues sur ses branches. • Sans remise, p_2 se lit dans l'urne modifiée par le premier tirage.

Le cours

Probabilité d'une issue Une issue d'une expérience à deux épreuves correspond à un chemin de l'arbre. Pour calculer sa probabilité, on peut compter les couples, ou multiplier les probabilités inscrites sur les branches du chemin : les deux méthodes donnent le même résultat. Ce qu'il faut savoir Si la 1re épreuve a n issues équiprobables et la 2e m issues équiprobables (pièce, dé, objets numérotés), les n m couples sont équiprobables : chacun a pour probabilité 1/n m. Une pièce puis un dé : chaque couple a pour probabilité 1/12. Règle du produit : la probabilité de l'issue représentée par un chemin est le produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin. P(chemin) = p_1 p_2 Pourquoi on multiplie Une urne contient 3 boules bleues et 2 jaunes, numérotées pour les distinguer. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Il y a 5 5 = 25 couples de même chance, et 3 2 = 6 d'entre eux donnent une bleue puis une jaune : P(B ; J) = 3 2/5 5 = 3/5 2/5 = 6/25 Compter les couples revient donc à multiplier les fractions lues sur les branches. Au lycée, cette règle sera étendue à des situations plus générales. Méthode 1. Repérer le chemin qui correspond à l'issue cherchée. 2. Lire la probabilité p_1 de la première branche. 3. Lire la probabilité p_2 de la seconde branche, dans l'état de l'urne après le premier tirage. 4. Calculer p_1 p_2 et simplifier la fraction. 5. Contrôler : le résultat ne dépasse ni p_1 ni p_2. Sans remise : mettre l'urne à jour Avec la même urne mais sans remise, après une boule bleue il ne reste que 4 boules, dont 2 bleues : P(B ; B) = 3/5 2/4 = 6/20 = 3/10. Par dénombrement : 3 2 = 6 couples favorables sur 5 4 = 20 couples de deux boules différentes.

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