Tirage simultané de deux objets ramené à des tirages successifs sans remise

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Tirer simultanément 2 objets équivaut mathématiquement à deux tirages successifs sans remise. • Au second tirage, l'urne contient N - 1 objets : le dénominateur diminue de 1. • Pour un résultat non ordonné, on additionne les deux ordres possibles : P(\A\,;\,B\) = P(A puis B) + P(B puis A).

Le cours

1. Équivalence fondamentale entre simultané et sans remise Tirer simultanément deux objets d'une urne revient exactement, du point de vue des probabilités, à tirer un premier objet, puis un second sans remettre le premier : « Tirer 2 boules ensemble d'une urne » « Tirer une boule, puis une 2e boule sans remise ». Cette équivalence permet d'utiliser les outils standards des expériences à deux épreuves successives (arbres et tableaux à double entrée) pour résoudre les problèmes de tirages simultanés. 2. Arbre pondéré et modification de l'univers au second tirage Dans un tirage sans remise, la composition de l'urne change entre la première et la seconde épreuve : 1. Le nombre total d'objets disponibles au second tirage diminue d'une unité : il passe de N à N - 1. 2. L'effectif de la catégorie d'objet tirée en premier diminue également d'une unité. 3. Pour obtenir la probabilité d'une paire non ordonnée \A\,;\,B\, on additionne les probabilités des deux chemins ordonnés (A\,;\,B) et (B\,;\,A). Si l'on utilise un tableau à double entrée, les cases diagonales (tirer le même objet deux fois) sont impossibles et doivent être barrées. 3. Erreur fréquente N'oubliez jamais de diminuer le dénominateur de 1 lors de la deuxième épreuve ! Par exemple, si l'urne contient 10 boules au départ, le dénominateur de toutes les branches du second niveau est 9, et non 10. Conserver 10 signifierait qu'il y a eu remise de l'objet, ce qui fausserait complètement le calcul.

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