Quadrilatères particuliers et leurs diagonales (rectangle, carré, losange) de 5ème

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Rectangle : diagonales de même longueur se coupant en leur milieu ; sépare la figure en deux triangles rectangles. • Losange : diagonales perpendiculaires se coupant en leur milieu ; sépare la figure en quatre triangles rectangles. • Carré : diagonales de même longueur, perpendiculaires et de même milieu.

Le cours

1. Propriétés caractéristiques des diagonales Les parallélogrammes particuliers se distinguent par les propriétés géométriques remarquables de leurs diagonales : Rectangle : les diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu. Losange : les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Carré : cumule toutes les propriétés : les diagonales ont la même longueur, sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Le point d'intersection des diagonales est le centre de symétrie du quadrilatère. 2. Apparition de triangles rectangles intérieurs La perpendicularité des diagonales dans le losange et le carré fait apparaître des triangles rectangles indispensables pour les calculs de longueurs : Dans un losange de centre O, les diagonales se coupent à angle droit : les 4 triangles formés avec les sommets sont des triangles rectangles en O. Dans un rectangle, chaque diagonale partage la figure en 2 triangles rectangles superposables dont l'hypoténuse est la diagonale elle-même. Pour tout losange de diagonales de longueurs d_1 et d_2, les côtés de l'angle droit de chaque petit triangle valent d_1/2 et d_2/2. 3. Erreur fréquente Ne confondez pas les propriétés du rectangle et du losange ! Les diagonales d'un rectangle ne sont généralement pas perpendiculaires (elles ne le sont que si le rectangle est un carré). De même, les diagonales d'un losange quelconque n'ont pas la même longueur (elles n'ont la même longueur que si le losange est un carré).

Dans ce chapitre

• Triangle rectangle et hypoténuse de 5ème
• Quadrilatères particuliers et leurs diagonales (rectangle, carré, losange) de 5ème
• Triangle isocèle et triangle équilatéral : axe de symétrie, hauteur et médiatrice de 5ème
• Énoncé du théorème de Pythagore : relation sur les carrés des côtés
• Calculer la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle
• Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
• Racine carrée d'un nombre positif : valeur exacte et valeur approchée
• Résolution de problèmes concrets et géométriques avec Pythagore
• Démontrer le théorème de Pythagore par découpage et recollement d'aires
• Diagonale d'un carré et hauteur d'un triangle équilatéral avec le théorème de Pythagore
• Calculer une distance sur un quadrillage ou dans un repère avec le théorème de Pythagore — 4ème
• Calculer la hauteur ou la génératrice d'un cône et la hauteur d'une pyramide avec Pythagore — 4ème
• Enchaîner deux calculs de Pythagore dans une figure composée de triangles accolés
• Bilan : Synthèse et méthode sur le calcul de longueurs avec Pythagore