Démontrer le théorème de Pythagore par découpage et recollement d'aires

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Un grand carré de côté a + b contient 4 triangles rectangles d'aire ab/2 et un carré central de côté c. • Aire totale : (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab. • En soustrayant 2ab de part et d'autre, on démontre l'égalité fondamentale : a^2 + b^2 = c^2.

Le cours

1. Principe géométrique de la démonstration par les aires La démonstration historique du théorème de Pythagore repose sur la comparaison de deux découpages d'un même grand carré de côté a + b : On dispose de 4 triangles rectangles identiques, de côtés de l'angle droit a et b, et d'hypoténuse c. L'aire d'un seul triangle rectangle vaut a b/2. L'aire des 4 triangles réunis vaut donc 4 ab/2 = 2ab. En disposant ces quatre triangles à l'intérieur d'un grand carré de côté a + b, l'espace laissé libre au centre forme un carré de côté c. 2. Égalité des aires et conclusion algébrique On exprime l'aire totale du grand carré de deux manières différentes : Première méthode (aire globale) : Aire = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 Seconde méthode (somme des pièces du puzzle) : Aire = c^2 + 4 (ab/2) = c^2 + 2ab En égalant ces deux expressions : a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab. En retranchant 2ab de chaque côté, on obtient la célèbre relation : a^2 + b^2 = c^2 3. Erreur fréquente Attention à ne pas confondre l'égalité des aires et une égalité sur les longueurs ! Le théorème affirme que le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des côtés de l'angle droit (c^2 = a^2 + b^2). Il ne dit absolument pas que c = a + b, ce qui contredirait l'inégalité triangulaire (le chemin direct en ligne droite étant toujours plus court que le détour par l'angle droit).

Dans ce chapitre

• Triangle rectangle et hypoténuse de 5ème
• Quadrilatères particuliers et leurs diagonales (rectangle, carré, losange) de 5ème
• Triangle isocèle et triangle équilatéral : axe de symétrie, hauteur et médiatrice de 5ème
• Énoncé du théorème de Pythagore : relation sur les carrés des côtés
• Calculer la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle
• Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
• Racine carrée d'un nombre positif : valeur exacte et valeur approchée
• Résolution de problèmes concrets et géométriques avec Pythagore
• Démontrer le théorème de Pythagore par découpage et recollement d'aires
• Diagonale d'un carré et hauteur d'un triangle équilatéral avec le théorème de Pythagore
• Calculer une distance sur un quadrillage ou dans un repère avec le théorème de Pythagore — 4ème
• Calculer la hauteur ou la génératrice d'un cône et la hauteur d'une pyramide avec Pythagore — 4ème
• Enchaîner deux calculs de Pythagore dans une figure composée de triangles accolés
• Bilan : Synthèse et méthode sur le calcul de longueurs avec Pythagore