Triangle isocèle et triangle équilatéral : axe de symétrie, hauteur et médiatrice de 5ème

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Dans un triangle isocèle en A, la hauteur issue de A est aussi la médiatrice de la base [BC]. • Le pied de la hauteur H est le milieu exact de la base : BH = HC = BC/2. • La hauteur forme deux triangles rectangles symétriques : ABH et ACH rectangles en H.

Le cours

1. Ligne remarquable et axe de symétrie du triangle isocèle Dans un triangle isocèle en son sommet principal, les différentes droites remarquables issues de ce sommet sont confondues en une droite unique : Si ABC est isocèle en A, la droite issue de A et perpendiculaire à la base [BC] est à la fois : • La hauteur issue de A ; • La médiatrice de la base [BC] ; • La médiane issue de A ; • L'axe de symétrie du triangle ABC. Cette droite remarquable coupe la base [BC] en son milieu H en formant un angle droit. 2. Décomposition en deux triangles rectangles superposables Le tracé de la hauteur principale partage le triangle isocèle ou équilatéral en deux triangles rectangles parfaitement symétriques : Dans le triangle isocèle ABC avec hauteur [AH] : Le triangle ABH est rectangle en H, d'hypoténuse [AB] et avec BH = BC/2. Le triangle ACH est rectangle en H, d'hypoténuse [AC] et avec CH = BC/2. Dans un triangle équilatéral, cette propriété est vraie pour les trois hauteurs issues de chacun des trois sommets. 3. Erreur fréquente La hauteur ne coupe la base opposée en son milieu que si le triangle est isocèle (en ce sommet) ou équilatéral ! Dans un triangle quelconque (scalène), la hauteur forme un angle droit mais ne passe absolument pas par le milieu du côté opposé. N'affirmez jamais que BH = BC/2 sans avoir préalablement justifié que le triangle est isocèle en A.

Dans ce chapitre

• Triangle rectangle et hypoténuse de 5ème
• Quadrilatères particuliers et leurs diagonales (rectangle, carré, losange) de 5ème
• Triangle isocèle et triangle équilatéral : axe de symétrie, hauteur et médiatrice de 5ème
• Énoncé du théorème de Pythagore : relation sur les carrés des côtés
• Calculer la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle
• Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
• Racine carrée d'un nombre positif : valeur exacte et valeur approchée
• Résolution de problèmes concrets et géométriques avec Pythagore
• Démontrer le théorème de Pythagore par découpage et recollement d'aires
• Diagonale d'un carré et hauteur d'un triangle équilatéral avec le théorème de Pythagore
• Calculer une distance sur un quadrillage ou dans un repère avec le théorème de Pythagore — 4ème
• Calculer la hauteur ou la génératrice d'un cône et la hauteur d'une pyramide avec Pythagore — 4ème
• Enchaîner deux calculs de Pythagore dans une figure composée de triangles accolés
• Bilan : Synthèse et méthode sur le calcul de longueurs avec Pythagore