Calculer la hauteur ou la génératrice d'un cône et la hauteur d'une pyramide avec Pythagore — 4ème

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Dans un cône de révolution, le triangle SOM est rectangle en O : g^2 = h^2 + r^2 (avec génératrice g, hauteur h, rayon r). • Dans une pyramide régulière, le triangle formé par la hauteur, un demi-côté et l'apothème est rectangle en O. • Pensez à diviser le diamètre par 2 pour obtenir le rayon de base.

Le cours

1. Triangle rectangle dans un cône de révolution Un cône de révolution est engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un des côtés de son angle droit. On y retrouve une configuration de Pythagore fondamentale : Soit S le sommet du cône, O le centre du disque de base, et M un point quelconque du cercle de base : • La droite (SO) est l'axe du cône, sa longueur h = SO est la hauteur du cône. • Le segment [OM] est un rayon de base de longueur r = OM. • Le segment [SM] est une génératrice du cône de longueur g = SM. L'axe étant perpendiculaire au disque de base, le triangle SOM est rectangle en O, et son hypoténuse est la génératrice [SM]. On a la relation : g^2 = h^2 + r^2. 2. Triangle rectangle dans une pyramide régulière Dans une pyramide régulière à base carrée de sommet S et de centre de base O : La hauteur [SO] est perpendiculaire à la base carrée en son centre O. Pour un sommet du carré de base A, le triangle SOA est rectangle en O d'hypoténuse l'arête latérale [SA]. Pour le milieu H d'un côté de base, le triangle SOH est rectangle en O avec OH = côté2, et son hypoténuse [SH] est la hauteur de la face latérale triangulaire (apothème). Ces triangles rectangles permettent de relier la hauteur de la pyramide aux dimensions visibles sur son patron. 3. Erreur fréquente Attention à ne pas confondre le rayon et le diamètre du disque de base d'un cône ! Si l'énoncé fournit le diamètre, divisez-le impérativement par 2 pour obtenir r avant d'appliquer Pythagore. Dans une pyramide, ne confondez pas non plus la hauteur de la pyramide (SO, verticale au centre) avec la hauteur d'une face latérale (SH, inclinée).

Dans ce chapitre

• Triangle rectangle et hypoténuse de 5ème
• Quadrilatères particuliers et leurs diagonales (rectangle, carré, losange) de 5ème
• Triangle isocèle et triangle équilatéral : axe de symétrie, hauteur et médiatrice de 5ème
• Énoncé du théorème de Pythagore : relation sur les carrés des côtés
• Calculer la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle
• Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
• Racine carrée d'un nombre positif : valeur exacte et valeur approchée
• Résolution de problèmes concrets et géométriques avec Pythagore
• Démontrer le théorème de Pythagore par découpage et recollement d'aires
• Diagonale d'un carré et hauteur d'un triangle équilatéral avec le théorème de Pythagore
• Calculer une distance sur un quadrillage ou dans un repère avec le théorème de Pythagore — 4ème
• Calculer la hauteur ou la génératrice d'un cône et la hauteur d'une pyramide avec Pythagore — 4ème
• Enchaîner deux calculs de Pythagore dans une figure composée de triangles accolés
• Bilan : Synthèse et méthode sur le calcul de longueurs avec Pythagore