Diagonale d'un carré et hauteur d'un triangle équilatéral avec le théorème de Pythagore

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Diagonale d'un carré de côté c : d^2 = 2c^2, d'où la valeur exacte d = c2. • Hauteur d'un triangle équilatéral de côté a : h^2 = a^2 - a^2/4 = 3a^2/4, d'où h = 32a. • Toujours donner d'abord la valeur exacte avant l'arrondi décimal demandé.

Le cours

1. Formule de la diagonale d'un carré Dans un carré de côté c, une diagonale d forme avec deux côtés consécutifs un triangle rectangle isocèle. En appliquant le théorème de Pythagore : d^2 = c^2 + c^2 = 2c^2 En prenant la racine carrée : d = 2c^2 = c2 La diagonale d'un carré est toujours proportionnelle à son côté, avec un coefficient multiplicateur exact de 2 1,414. 2. Formule de la hauteur d'un triangle équilatéral Dans un triangle équilatéral de côté a, la hauteur h coupe la base en son milieu et forme un triangle rectangle d'hypoténuse a et de côté de l'angle droit a/2 : a^2 = h^2 + (a/2)^2 h^2 = a^2 - a^2/4 = 3a^2/4 En prenant la racine carrée : h = 32a La hauteur d'un triangle équilatéral est donc égale à son côté multiplié par 32 0,866. 3. Erreur fréquente Attention au calcul de (a/2)^2 ! L'exposant 2 s'applique au numérateur et au dénominateur : le carré de a/2 est a^2/4 et non a^2/2. Oublier d'élever le 2 au carré fausse complètement la soustraction de fractions ultérieure.

Dans ce chapitre

• Triangle rectangle et hypoténuse de 5ème
• Quadrilatères particuliers et leurs diagonales (rectangle, carré, losange) de 5ème
• Triangle isocèle et triangle équilatéral : axe de symétrie, hauteur et médiatrice de 5ème
• Énoncé du théorème de Pythagore : relation sur les carrés des côtés
• Calculer la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle
• Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
• Racine carrée d'un nombre positif : valeur exacte et valeur approchée
• Résolution de problèmes concrets et géométriques avec Pythagore
• Démontrer le théorème de Pythagore par découpage et recollement d'aires
• Diagonale d'un carré et hauteur d'un triangle équilatéral avec le théorème de Pythagore
• Calculer une distance sur un quadrillage ou dans un repère avec le théorème de Pythagore — 4ème
• Calculer la hauteur ou la génératrice d'un cône et la hauteur d'une pyramide avec Pythagore — 4ème
• Enchaîner deux calculs de Pythagore dans une figure composée de triangles accolés
• Bilan : Synthèse et méthode sur le calcul de longueurs avec Pythagore