Résolution de problèmes concrets et géométriques avec Pythagore

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Diagonale d'un rectangle : d^2 = L^2 + ^2 ; diagonale d'un carré : d^2 = 2c^2. • Losange de demi-diagonales p et q : son côté c vérifie c^2 = p^2 + q^2. • Triangle isocèle de côtés égaux a et de base b : la hauteur h vérifie h^2 = a^2 - (b/2)^2. • Toujours justifier l'angle droit avant d'appliquer le théorème de Pythagore.

Le cours

Repérer le triangle rectangle caché •Rectangle de longueur L et de largeur : la diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle, donc d^2 = L^2 + ^2. •Carré de côté c : sa diagonale vérifie d^2 = c^2 + c^2 = 2c^2. •Losange : ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Chaque côté est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont les demi-diagonales. •Triangle isocèle ou équilatéral : la hauteur issue du sommet principal est portée par l'axe de symétrie et coupe la base en son milieu. Elle forme deux triangles rectangles dont l'hypoténuse est l'un des côtés égaux et dont un côté de l'angle droit est la demi-base. •Mur vertical et sol horizontal : une échelle, un câble ou une rampe forment l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Méthode de résolution 1. Faire un croquis à main levée, coder l'angle droit et reporter les longueurs connues, toutes dans la même unité. 2. Justifier l'angle droit : propriété de la figure (rectangle, losange, hauteur…) ou situation physique (vertical et horizontal). 3. Nommer le triangle rectangle utile et son hypoténuse, puis choisir : addition si l'on cherche l'hypoténuse, soustraction sinon. 4. Si la longueur cherchée n'est dans aucun triangle rectangle connu, calculer d'abord une longueur intermédiaire dans un premier triangle. 5. Répondre à la question posée (aire, périmètre, comparaison…) par une phrase, avec l'unité et l'arrondi demandé. Exemple : le câble d'un poteau Un poteau vertical de 6\ m est maintenu par un câble fixé au sol à 2,5\ m de sa base. Le poteau et le sol forment un angle droit et le câble est l'hypoténuse : L^2 = 6^2 + 2,5^2 = 36 + 6,25 = 42,25, donc L = 42,25 = 6,5\ m. Attention Dans un triangle isocèle ou un losange, on travaille avec la moitié de la base ou des diagonales : l'oublier fausse tout le calcul. Convertis les longueurs dans la même unité avant de calculer. Et la longueur calculée n'est pas toujours la réponse : relis la question, qui peut porter sur une aire, un périmètre ou une comparaison.

Dans ce chapitre

• Triangle rectangle et hypoténuse de 5ème
• Quadrilatères particuliers et leurs diagonales (rectangle, carré, losange) de 5ème
• Triangle isocèle et triangle équilatéral : axe de symétrie, hauteur et médiatrice de 5ème
• Énoncé du théorème de Pythagore : relation sur les carrés des côtés
• Calculer la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle
• Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
• Racine carrée d'un nombre positif : valeur exacte et valeur approchée
• Résolution de problèmes concrets et géométriques avec Pythagore
• Démontrer le théorème de Pythagore par découpage et recollement d'aires
• Diagonale d'un carré et hauteur d'un triangle équilatéral avec le théorème de Pythagore
• Calculer une distance sur un quadrillage ou dans un repère avec le théorème de Pythagore — 4ème
• Calculer la hauteur ou la génératrice d'un cône et la hauteur d'une pyramide avec Pythagore — 4ème
• Enchaîner deux calculs de Pythagore dans une figure composée de triangles accolés
• Bilan : Synthèse et méthode sur le calcul de longueurs avec Pythagore