Calculer la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• On cherche l'hypoténuse : on additionne les carrés, BC^2 = AB^2 + AC^2. • Puis BC = AB^2 + AC^2 : valeur exacte, puis arrondi demandé, avec l'unité. • Contrôle : l'hypoténuse dépasse chaque côté de l'angle droit et reste inférieure à leur somme.

Le cours

Ce qu'il faut savoir •On connaît les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle et l'on cherche l'hypoténuse. •Le théorème de Pythagore donne le carré de l'hypoténuse par une addition de carrés : BC^2 = AB^2 + AC^2 pour un triangle rectangle en A. •Une longueur est positive : BC est donc la racine carrée de cette somme. •Si la somme est un carré parfait, la longueur est entière (BC^2 = 100 donne BC = 10). Sinon, on donne la valeur exacte avec le symbole racine carrée, puis une valeur arrondie à la précision demandée. BC = AB^2 + AC^2 Méthode et rédaction 1. Phrase d'introduction : nommer le triangle, le sommet de l'angle droit et le théorème. 2. Écrire l'égalité avec les lettres, hypoténuse au carré seule. 3. Remplacer par les longueurs, toutes exprimées dans la même unité. 4. Calculer la somme des carrés. 5. Prendre la racine carrée : valeur exacte, puis arrondi demandé, avec l'unité. Exemple : ABC est rectangle en A, avec AB = 5\ cm et AC = 7\ cm. Le triangle ABC est rectangle en A, donc, d'après le théorème de Pythagore : BC^2 = AB^2 + AC^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74 BC = 74\ cm (valeur exacte), soit BC 8,6\ cm au millimètre près. Triangles rectangles à côtés entiers Certains triangles rectangles ont trois côtés entiers : (3\,;4\,;5), (5\,;12\,;13), (8\,;15\,;17), ainsi que leurs agrandissements obtenus en multipliant les trois longueurs par un même nombre, comme (6\,;8\,;10) ou (30\,;40\,;50). Les reconnaître permet d'anticiper un résultat ou de repérer une erreur, mais la rédaction complète reste obligatoire. Contrôles indispensables L'hypoténuse trouvée doit être plus longue que chacun des côtés de l'angle droit, et plus courte que leur somme : avec 5 et 7, on doit obtenir une valeur entre 7 et 12, ce que vérifie 8,6. Une hypoténuse plus courte qu'un côté de l'angle droit signale une soustraction faite par erreur. Ne t'arrête pas à BC^2 = 74 : la réponse attendue est BC. Enfin, AB^2 + AC^2 n'est pas AB + AC : 9 + 16 = 5, alors que 3 + 4 = 7.

Dans ce chapitre

• Triangle rectangle et hypoténuse de 5ème
• Quadrilatères particuliers et leurs diagonales (rectangle, carré, losange) de 5ème
• Triangle isocèle et triangle équilatéral : axe de symétrie, hauteur et médiatrice de 5ème
• Énoncé du théorème de Pythagore : relation sur les carrés des côtés
• Calculer la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle
• Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
• Racine carrée d'un nombre positif : valeur exacte et valeur approchée
• Résolution de problèmes concrets et géométriques avec Pythagore
• Démontrer le théorème de Pythagore par découpage et recollement d'aires
• Diagonale d'un carré et hauteur d'un triangle équilatéral avec le théorème de Pythagore
• Calculer une distance sur un quadrillage ou dans un repère avec le théorème de Pythagore — 4ème
• Calculer la hauteur ou la génératrice d'un cône et la hauteur d'une pyramide avec Pythagore — 4ème
• Enchaîner deux calculs de Pythagore dans une figure composée de triangles accolés
• Bilan : Synthèse et méthode sur le calcul de longueurs avec Pythagore