Triangle rectangle et hypoténuse de 5ème

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Hypoténuse : côté opposé à l'angle droit ; si ABC est rectangle en A, c'est [BC]. • Côtés de l'angle droit : les deux côtés issus du sommet de l'angle droit, ici [AB] et [AC]. • L'hypoténuse est le plus long côté, mais elle est plus courte que la somme des deux autres. • Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : leur somme vaut 90^.

Le cours

Vu en 5ème Tout le chapitre sur le théorème de Pythagore repose sur un réflexe : savoir dire, dans n'importe quel triangle rectangle, lequel des trois côtés est l'hypoténuse. Ce rappel reprend le vocabulaire et les propriétés de 5ème qui serviront aussi à contrôler les longueurs calculées. Vocabulaire du triangle rectangle •Un triangle rectangle possède un angle droit, de mesure 90^. Sur une figure, il est signalé par un petit carré : c'est le codage de l'angle droit. •Les deux côtés qui forment l'angle droit sont les côtés de l'angle droit ; leur extrémité commune est le sommet de l'angle droit. •Le troisième côté, opposé à l'angle droit, est l'hypoténuse : il ne passe pas par le sommet de l'angle droit. •Exemple : si ABC est rectangle en A, l'angle droit est BAC, les côtés de l'angle droit sont [AB] et [AC], et l'hypoténuse est [BC], le côté formé des deux autres lettres. Propriétés utiles pour contrôler un résultat •L'hypoténuse est le plus long des trois côtés du triangle rectangle (le théorème de Pythagore permettra de le justifier). •Inégalité triangulaire : l'hypoténuse est plus courte que la somme des deux côtés de l'angle droit. Avec des côtés de l'angle droit de 3\ cm et 4\ cm, l'hypoténuse mesure donc plus de 4\ cm et moins de 7\ cm. •Les deux angles aigus d'un triangle rectangle ont pour somme 90^, puisque les trois angles d'un triangle totalisent 180^. •Une diagonale partage un rectangle en deux triangles rectangles qui ont la même hypoténuse : cette diagonale. Méthode : repérer l'hypoténuse 1. Chercher le sommet de l'angle droit : codage sur la figure ou phrase « rectangle en … » dans l'énoncé. 2. Les deux côtés issus de ce sommet sont les côtés de l'angle droit ; le côté qui relie les deux autres sommets est l'hypoténuse. 3. Si l'on sait seulement que le triangle est rectangle et que l'on connaît ses trois longueurs, l'hypoténuse est le plus long côté et l'angle droit est au sommet opposé. Attention L'hypoténuse n'est ni forcément le côté « penché » ni le côté horizontal du dessin : seule la position de l'angle droit compte. Un angle qui « a l'air droit », sans codage ni indication de l'énoncé, ne permet de rien conclure.

Dans ce chapitre

• Triangle rectangle et hypoténuse de 5ème
• Quadrilatères particuliers et leurs diagonales (rectangle, carré, losange) de 5ème
• Triangle isocèle et triangle équilatéral : axe de symétrie, hauteur et médiatrice de 5ème
• Énoncé du théorème de Pythagore : relation sur les carrés des côtés
• Calculer la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle
• Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
• Racine carrée d'un nombre positif : valeur exacte et valeur approchée
• Résolution de problèmes concrets et géométriques avec Pythagore
• Démontrer le théorème de Pythagore par découpage et recollement d'aires
• Diagonale d'un carré et hauteur d'un triangle équilatéral avec le théorème de Pythagore
• Calculer une distance sur un quadrillage ou dans un repère avec le théorème de Pythagore — 4ème
• Calculer la hauteur ou la génératrice d'un cône et la hauteur d'une pyramide avec Pythagore — 4ème
• Enchaîner deux calculs de Pythagore dans une figure composée de triangles accolés
• Bilan : Synthèse et méthode sur le calcul de longueurs avec Pythagore