Bilan : Synthèse et méthode sur le calcul de longueurs avec Pythagore

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Le théorème de Pythagore sert à calculer une longueur dans un triangle déjà connu comme rectangle. • Hypoténuse cherchée : c = a^2 + b^2 ; côté de l'angle droit cherché : b = c^2 - a^2. • Rédaction : triangle rectangle et théorème cités, égalité avec les lettres, calcul, racine carrée avec l'unité. • Valeur exacte d'abord, arrondi seulement à la fin ; contrôle : l'hypoténuse est le plus long côté.

Le cours

Quel outil pour quelle question ? Dans un triangle que l'on sait rectangle, deux longueurs suffisent pour calculer la troisième. Le théorème de Pythagore sert à calculer ; il ne sert pas à démontrer qu'un triangle est rectangle. On connaîtOn chercheOutil les deux côtés de l'angle droit a et bl'hypoténuse caddition : c = a^2 + b^2 l'hypoténuse c et un côté al'autre côté bsoustraction : b = c^2 - a^2 les trois longueurs, sans savoir si le triangle est rectanglesa natureréciproque ou contraposée du théorème (chapitre suivant) Rédaction complète en quatre lignes 1. Justifier : « Le triangle RST est rectangle en S, donc, d'après le théorème de Pythagore : » 2. Écrire l'égalité avec les lettres : RT^2 = RS^2 + ST^2. 3. Remplacer et calculer : RT^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225. 4. Conclure avec la racine carrée et l'unité : RT = 225 = 15\ cm. Valeur exacte et valeur approchée Garde la valeur exacte, par exemple 56, tant que le calcul continue, et n'arrondis qu'à la fin, au rang demandé : arrondir trop tôt accumule les erreurs. Pour contrôler un arrondi, encadre par des carrés parfaits : 49 Organisation sur une copie •Lire tout l'énoncé avant de commencer : une longueur calculée à une question sert souvent à la suivante. •Faire un schéma codé et repérer chaque triangle rectangle, avec son hypoténuse. •Vérifier chaque résultat intermédiaire : l'hypoténuse est le plus long côté et reste plus courte que la somme des deux autres. •Connaître les triangles à côtés entiers (3\,;4\,;5), (5\,;12\,;13), (8\,;15\,;17) et leurs agrandissements, pour repérer une erreur de calcul. Les erreurs qui coûtent des points Oublier de justifier que le triangle est rectangle ou de citer le théorème ; isoler un côté de l'angle droit au lieu de l'hypoténuse ; additionner les longueurs au lieu des carrés, ou écrire a^2 + b^2 = a + b ; additionner quand on cherche un côté de l'angle droit ; s'arrêter à c^2 ou oublier l'unité ; donner seulement une valeur approchée quand la valeur exacte est demandée ; enfin, utiliser le théorème pour prouver qu'un triangle est rectangle, ce qui est le rôle de sa réciproque.

Dans ce chapitre

• Triangle rectangle et hypoténuse de 5ème
• Quadrilatères particuliers et leurs diagonales (rectangle, carré, losange) de 5ème
• Triangle isocèle et triangle équilatéral : axe de symétrie, hauteur et médiatrice de 5ème
• Énoncé du théorème de Pythagore : relation sur les carrés des côtés
• Calculer la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle
• Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
• Racine carrée d'un nombre positif : valeur exacte et valeur approchée
• Résolution de problèmes concrets et géométriques avec Pythagore
• Démontrer le théorème de Pythagore par découpage et recollement d'aires
• Diagonale d'un carré et hauteur d'un triangle équilatéral avec le théorème de Pythagore
• Calculer une distance sur un quadrillage ou dans un repère avec le théorème de Pythagore — 4ème
• Calculer la hauteur ou la génératrice d'un cône et la hauteur d'une pyramide avec Pythagore — 4ème
• Enchaîner deux calculs de Pythagore dans une figure composée de triangles accolés
• Bilan : Synthèse et méthode sur le calcul de longueurs avec Pythagore