Énoncé du théorème de Pythagore : relation sur les carrés des côtés

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Si ABC est rectangle en A, alors BC^2 = AB^2 + AC^2, où [BC] est l'hypoténuse. • Le carré de l'hypoténuse est seul d'un côté ; de l'autre, la somme des carrés des côtés de l'angle droit. • Le théorème ne s'applique que dans un triangle rectangle. • Ce sont les carrés qui s'additionnent : 3^2 + 4^2 = 5^2, mais 3 + 4 5.

Le cours

Le théorème de Pythagore Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l'angle droit. Pour un triangle ABC rectangle en A, d'hypoténuse [BC] : BC^2 = AB^2 + AC^2 Rappel : BC^2 se lit « BC au carré » et vaut BC BC. Le théorème relie les carrés des longueurs, jamais les longueurs elles-mêmes. Lecture avec des aires •Sur chaque côté du triangle rectangle, on construit un carré. L'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des deux carrés construits sur les côtés de l'angle droit. •Pour le triangle de côtés 3\ cm, 4\ cm et 5\ cm : 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2. Les carrés de 9\ cm^2 et de 16\ cm^2 couvrent ensemble autant de surface que celui de 25\ cm^2. •Autres exemples d'écriture : pour MNP rectangle en P, l'hypoténuse est [MN] et MN^2 = PM^2 + PN^2 ; pour ABC rectangle en B, l'hypoténuse est [AC] et AC^2 = BA^2 + BC^2. Pourquoi est-ce vrai ? Le puzzle des quatre triangles Prenons quatre exemplaires d'un triangle rectangle de côtés de l'angle droit a et b et d'hypoténuse c, ainsi qu'un grand carré de côté a + b. Première disposition : les quatre triangles occupent les quatre coins et laissent au centre un carré de côté c (ses angles sont droits, car les deux angles aigus du triangle totalisent 90^). Seconde disposition : les triangles, assemblés deux à deux en rectangles de côtés a et b, laissent libres un carré de côté a et un carré de côté b. Dans les deux cas, on retire du même grand carré les mêmes quatre triangles : les surfaces restantes ont la même aire, donc c^2 = a^2 + b^2. Méthode : écrire l'égalité de Pythagore 1. S'assurer que le triangle est rectangle : l'énoncé le dit, ou la figure porte le codage de l'angle droit. Sinon, le théorème ne s'applique pas. 2. Repérer le sommet de l'angle droit et en déduire l'hypoténuse, le côté opposé. 3. Écrire seul, d'un côté du signe =, le carré de l'hypoténuse ; de l'autre côté, la somme des carrés des deux autres côtés. 4. Rédiger : « Le triangle MNP est rectangle en P, donc, d'après le théorème de Pythagore : MN^2 = PM^2 + PN^2. » La même égalité se lit aussi AB^2 = BC^2 - AC^2 ou AC^2 = BC^2 - AB^2 : c'est ce qui permettra de calculer n'importe lequel des trois côtés. Attention Le théorème ne s'applique qu'à un triangle rectangle. Il porte sur les carrés : pour le triangle de côtés 3, 4 et 5, on a bien 3^2 + 4^2 = 5^2, mais 3 + 4 = 7, qui n'est pas égal à 5. Enfin, AB^2 signifie AB AB et non AB 2 : si AB = 6, alors AB^2 = 36 et non 12.

Dans ce chapitre

• Triangle rectangle et hypoténuse de 5ème
• Quadrilatères particuliers et leurs diagonales (rectangle, carré, losange) de 5ème
• Triangle isocèle et triangle équilatéral : axe de symétrie, hauteur et médiatrice de 5ème
• Énoncé du théorème de Pythagore : relation sur les carrés des côtés
• Calculer la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle
• Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
• Racine carrée d'un nombre positif : valeur exacte et valeur approchée
• Résolution de problèmes concrets et géométriques avec Pythagore
• Démontrer le théorème de Pythagore par découpage et recollement d'aires
• Diagonale d'un carré et hauteur d'un triangle équilatéral avec le théorème de Pythagore
• Calculer une distance sur un quadrillage ou dans un repère avec le théorème de Pythagore — 4ème
• Calculer la hauteur ou la génératrice d'un cône et la hauteur d'une pyramide avec Pythagore — 4ème
• Enchaîner deux calculs de Pythagore dans une figure composée de triangles accolés
• Bilan : Synthèse et méthode sur le calcul de longueurs avec Pythagore