Racine carrée d'un nombre positif : valeur exacte et valeur approchée

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Pour a 0, a est le nombre positif dont le carré vaut a : (a)^2 = a. • Carrés parfaits : 1 = 1, 4 = 2, …, 144 = 12, 169 = 13, 225 = 15. • Valeur exacte 45 ; encadrement 6 < 45 < 7 ; valeur approchée 45 6,7. • a + b a + b en général, et un nombre négatif n'a pas de racine carrée.

Le cours

Définition La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif dont le carré est égal à a. On la note a. Par exemple, 49 = 7, car 7 est positif et 7^2 = 49. a 0 (a)^2 = a a^2 = a \ pour a 0 Lecture géométrique : a est la longueur du côté d'un carré d'aire a. Un carré de 50\ cm^2 a un côté de 50\ cm, soit environ 7,1\ cm. Un nombre négatif n'a pas de racine carrée : aucun carré n'est négatif, donc -9 n'existe pas. Carrés parfaits à connaître •0 = 0 ; 1 = 1 ; 4 = 2 ; 9 = 3 ; 16 = 4 ; 25 = 5 ; 36 = 6 ; 49 = 7 ; 64 = 8 ; 81 = 9 ; 100 = 10 ; 121 = 11 ; 144 = 12 ; 169 = 13 ; 196 = 14 ; 225 = 15. •Avec des décimaux : 0,25 = 0,5 ; 1,44 = 1,2 ; 2,25 = 1,5. Avec des grands nombres : 400 = 20 ; 2\,500 = 50. Valeur exacte et valeur approchée 1. Si a est un entier qui n'est pas un carré parfait, a n'est pas un nombre décimal : son écriture après la virgule ne s'arrête jamais, comme 2 = 1,414\,213\,5 On écrit alors la valeur exacte avec le symbole : 2, 45. 2. On l'encadre par deux entiers consécutifs grâce aux carrés parfaits : 36 3. On obtient une valeur approchée avec la touche racine carrée de la calculatrice, puis on arrondit au rang demandé en regardant le chiffre suivant : 45 = 6,708 6,7 au dixième. Attention a n'est pas la moitié de a : 16 = 4 et non 8, 20 4,47 et non 10. La racine d'une somme n'est pas la somme des racines : 9 + 16 = 25 = 5, alors que 9 + 16 = 3 + 4 = 7. Ce piège revient dans chaque calcul avec le théorème de Pythagore : on additionne d'abord les carrés, puis on prend la racine du résultat.

Dans ce chapitre

• Triangle rectangle et hypoténuse de 5ème
• Quadrilatères particuliers et leurs diagonales (rectangle, carré, losange) de 5ème
• Triangle isocèle et triangle équilatéral : axe de symétrie, hauteur et médiatrice de 5ème
• Énoncé du théorème de Pythagore : relation sur les carrés des côtés
• Calculer la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle
• Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
• Racine carrée d'un nombre positif : valeur exacte et valeur approchée
• Résolution de problèmes concrets et géométriques avec Pythagore
• Démontrer le théorème de Pythagore par découpage et recollement d'aires
• Diagonale d'un carré et hauteur d'un triangle équilatéral avec le théorème de Pythagore
• Calculer une distance sur un quadrillage ou dans un repère avec le théorème de Pythagore — 4ème
• Calculer la hauteur ou la génératrice d'un cône et la hauteur d'une pyramide avec Pythagore — 4ème
• Enchaîner deux calculs de Pythagore dans une figure composée de triangles accolés
• Bilan : Synthèse et méthode sur le calcul de longueurs avec Pythagore