Calculer une distance sur un quadrillage ou dans un repère avec le théorème de Pythagore — 4ème

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Pour trouver la distance AB, on crée un triangle rectangle ABC à côtés horizontal et vertical. • Longueur horizontale : AC = |x_B - x_A| ; longueur verticale : BC = |y_B - y_A|. • Théorème de Pythagore : AB^2 = AC^2 + BC^2, d'où AB = AC^2 + BC^2.

Le cours

1. Construction du triangle rectangle sur quadrillage Pour déterminer la distance séparant deux points A et B non alignés sur un quadrillage ou dans un repère orthogonal, on utilise le théorème de Pythagore : 1. On construit un troisième point C de sorte que le triangle ABC soit rectangle en C. 2. Le côté [AC] suit une ligne horizontale du quadrillage. 3. Le côté [BC] suit une ligne verticale du quadrillage. Le segment oblique [AB] cherché est alors l'hypoténuse de ce triangle rectangle. 2. Calcul par les coordonnées des points Dans un repère orthonormé, les longueurs des côtés horizontaux et verticaux s'obtiennent par les écarts de coordonnées : Distance horizontale : AC = |x_B - x_A| Distance verticale : BC = |y_B - y_A| D'après le théorème de Pythagore : AB^2 = AC^2 + BC^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 On en déduit la distance exacte : AB = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 Puisque les écarts sont élevés au carré, leur signe n'a pas d'influence sur le résultat final. 3. Erreur fréquente Attention au comptage sur un quadrillage : comptez le nombre d'intervalles (unités de longueur) et non le nombre de nœuds du quadrillage. Par exemple, entre l'abscisse 1 et l'abscisse 5, il y a 5 - 1 = 4 carreaux, et non 5. De plus, veillez à toujours additionner les carrés pour l'hypoténuse et non les soustraire.

Dans ce chapitre

• Triangle rectangle et hypoténuse de 5ème
• Quadrilatères particuliers et leurs diagonales (rectangle, carré, losange) de 5ème
• Triangle isocèle et triangle équilatéral : axe de symétrie, hauteur et médiatrice de 5ème
• Énoncé du théorème de Pythagore : relation sur les carrés des côtés
• Calculer la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle
• Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit
• Racine carrée d'un nombre positif : valeur exacte et valeur approchée
• Résolution de problèmes concrets et géométriques avec Pythagore
• Démontrer le théorème de Pythagore par découpage et recollement d'aires
• Diagonale d'un carré et hauteur d'un triangle équilatéral avec le théorème de Pythagore
• Calculer une distance sur un quadrillage ou dans un repère avec le théorème de Pythagore — 4ème
• Calculer la hauteur ou la génératrice d'un cône et la hauteur d'une pyramide avec Pythagore — 4ème
• Enchaîner deux calculs de Pythagore dans une figure composée de triangles accolés
• Bilan : Synthèse et méthode sur le calcul de longueurs avec Pythagore