Théorème de la droite des milieux : segments et côtés parallèles

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AC], alors (IJ) // (BC). • Longueur du segment des milieux : IJ = 1/2 BC, ou de façon équivalente BC = 2 IJ. • Ce théorème démontre à la fois un parallélisme géométrique et une relation métrique de proportion moitié/double.

Le cours

1. Premier théorème : parallélisme Dans un triangle, la droite joignant les milieux de deux côtés possède une orientation remarquable par rapport au troisième côté : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au support du troisième côté. Si I est le milieu du segment [AB] et J le milieu du segment [AC] dans le triangle ABC, alors la droite (IJ) est parallèle à la droite (BC). 2. Deuxième théorème : longueur moitié En plus d'être parallèle, le segment qui joint les deux milieux a une longueur exactement égale à la moitié du troisième côté : Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté : IJ = 1/2 BC = BC/2 c'est-à-dire BC = 2 IJ Cette propriété permet de calculer instantanément une longueur inconnue sans utiliser de trigonométrie ni d'instrument de mesure. 3. Conditions d'application et vigilance Pour appliquer ce théorème, vous devez vous assurer que les deux points I et J sont impérativement des milieux. Si un seul des deux points n'est pas le milieu de son côté, la propriété ne s'applique pas. Ne confondez pas le grand côté et le segment des milieux : le segment des milieux est toujours le plus court des deux.

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