Démonstration d'un parallélogramme ou d'un milieu par translation

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Si la translation qui transforme A en B transforme C en D, alors le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. • Conséquences : (AB) // (CD), AB = CD, et les diagonales [AD] et [BC] ont le même milieu. • La translation conserve le milieu : l'image du milieu d'un segment est le milieu du segment image.

Le cours

1. Caractérisation du parallélogramme La translation et le parallélogramme sont intimement liés. La définition géométrique d'un glissement permet de démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme : Si la translation qui transforme A en B transforme le point C en un point D, alors le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. Cette équivalence signifie que les segments [AB] et [CD] ont la même longueur et sont portés par des droites parallèles, et que les segments [AD] et [BC] ont le même milieu. 2. Conservation du milieu d'un segment Une translation conserve l'alignement et les distances. Par conséquent, elle conserve les milieux : Si un point I est le milieu d'un segment [AB], alors son image I' par une translation est obligatoirement le milieu du segment image [A'B']. Pour démontrer qu'un point M est le milieu d'un segment, il suffit de prouver qu'il est l'image par une translation d'un milieu déjà connu. 3. Ordre des sommets : le piège classique Faites très attention à l'ordre des sommets lorsque vous nommez le parallélogramme : La translation transformant A en B et C en D donne le parallélogramme ABDC (et non ABCD). Les vecteurs de glissement vont de A vers B et de C vers D : les côtés parallèles sont [AB] et [CD], tandis que les diagonales qui se coupent en leur milieu sont [AD] et [BC].

Dans ce chapitre

• Symétries axiale et centrale et parallélogrammes de 5ème
• Construction de droites parallèles à la règle et à l'équerre de 6ème
• Repérage cartésien et coordonnées de points avec nombres relatifs de 5ème
• Définition de la translation : glissement par direction, sens et longueur
• Translation et parallélogramme : caractérisation géométrique
• Image d'un point et d'un segment par une translation
• Image d'une figure (triangle, cercle) et conservation des grandeurs
• Frises, pavages et compositions de translations
• Cas d'égalité des triangles et triangles superposables
• Théorème de la droite des milieux : segments et côtés parallèles
• Théorème de la droite des milieux : milieu du troisième côté
• Démonstration d'un parallélogramme ou d'un milieu par translation
• Identification des transformations du plan dans une frise ou un pavage
• Bilan : Synthèse et méthode sur la translation du plan