Image d'un point et d'un segment par une translation

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Construire M' : quatrième sommet du parallélogramme ABM'M (arc de centre M et de rayon AB, arc de centre B et de rayon AM). • Image d'un segment [CD] : le segment [C'D'] joignant les images, avec C'D' = CD et (C'D') // (CD). • Dans un repère : x_M' = x_M + (x_B - x_A) et y_M' = y_M + (y_B - y_A). • Le milieu d'un segment a pour image le milieu du segment image.

Le cours

1. Construire l'image d'un point au compas Pour construire l'image M' d'un point M, non situé sur (AB), par la translation qui transforme A en B, on construit le quatrième sommet du parallélogramme ABM'M : 1. Avec un écartement de compas égal à AB, tracer un arc de cercle de centre M. 2. Avec un écartement égal à AM, tracer un arc de cercle de centre B. 3. Les deux arcs se coupent en M' : garder le point qui donne un quadrilatère ABM'M non croisé, du côté indiqué par la flèche de A vers B. Cette construction est juste, car un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux est un parallélogramme. On peut aussi tracer la parallèle à (AB) passant par M, à la règle et à l'équerre, puis y reporter la longueur AB dans le sens de A vers B ; cette seconde méthode convient aussi lorsque M est sur (AB). 2. Image d'un segment L'image du segment [CD] est le segment [C'D'] qui joint les images de ses extrémités. On a C'D' = CD et (C'D') // (CD) ; les deux droites sont confondues lorsque (CD) est parallèle à (AB). Le quadrilatère CDD'C' est un parallélogramme, aplati dans ce dernier cas. Le milieu de [CD] a pour image le milieu de [C'D']. 3. Dans un repère ou sur un quadrillage Si la translation fait passer de A(x_A ; y_A) à B(x_B ; y_B), chaque point subit le même décalage : x_B - x_A en abscisse et y_B - y_A en ordonnée. x_M' = x_M + (x_B - x_A) y_M' = y_M + (y_B - y_A) Exemple : de A(1 ; 2) à B(4 ; 6), le décalage est de +3 en abscisse et de +4 en ordonnée ; le point M(2 ; -1) a pour image M'(5 ; 3). Sur un quadrillage sans repère, on compte de la même façon les carreaux : horizontalement, puis verticalement. 4. Attention Le décalage se calcule « arrivée moins départ », de A vers B ; le calculer de B vers A donne la translation de sens contraire. Et l'image d'un segment n'est pas toujours sur une droite distincte : si le glissement se fait le long de la droite qui porte le segment, l'image reste sur cette droite.

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