Théorème de la droite des milieux : milieu du troisième côté

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Dans un triangle, la droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu. • Hypothèses requises : un triangle, le milieu d'un côté et une droite parallèle à la base. • Conclusion obtenue : le point d'intersection obtenu sur le troisième côté est le milieu exact de ce côté.

Le cours

1. Énoncé du théorème réciproque Lorsque l'on connaît un seul milieu et une direction parallèle dans un triangle, le théorème suivant permet d'obtenir gratuitement un deuxième milieu : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. Dans le triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et si la droite (d) passant par I est parallèle à (BC), alors son point d'intersection avec [AC] est obligatoirement le milieu de [AC]. 2. Méthode de démonstration en trois temps Pour rédiger une démonstration géométrique irréprochable avec cette propriété : 1. Poser le triangle : Nommer clairement le triangle étudié (ex : « Dans le triangle EFG »). 2. Citer les deux hypothèses : Préciser le milieu connu et la droite parallèle (ex : « M est le milieu de [EF] et (MN) // (FG) »). 3. Énoncer la conclusion : Conclure sur le deuxième milieu (ex : « Donc N est le milieu de [EG] »). 3. Différence cruciale avec le théorème direct Ne confondez pas les deux théorèmes de la droite des milieux : Théorème direct : 2 milieux connus parallélisme et longueur moitié. Théorème réciproque : 1 milieu connu + 1 parallélisme 2e milieu prouvé. Cette propriété est l'un des outils de démonstration les plus puissants du collège pour justifier qu'un point est un milieu sans faire de calcul métrique.

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