Translation et parallélogramme : caractérisation géométrique

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• M' est l'image de M par la translation qui transforme A en B exactement quand ABM'M est un parallélogramme (éventuellement aplati). • Cela revient à dire que [AM'] et [BM] ont le même milieu. • Conséquences : (MM') // (AB) et MM' = AB, avec le même sens de parcours. • Dans un parallélogramme ABCD, la translation qui transforme A en B transforme D en C.

Le cours

1. La propriété Si la translation qui transforme A en B transforme aussi M en M', alors le quadrilatère ABM'M est un parallélogramme. En effet, les segments [AB] et [MM'] sont parallèles et de même longueur, et le quadrilatère ABM'M n'est pas croisé, puisqu'on va de M à M' dans le même sens que de A à B. Réciproquement, si ABM'M est un parallélogramme, alors M' est l'image de M par la translation qui transforme A en B. Les deux phrases disent donc la même chose. ABMM′I Lorsque M est sur la droite (AB), les quatre points sont alignés : on parle de parallélogramme « aplati ». La caractérisation par les diagonales reste valable dans tous les cas : [AM'] et [BM] ont le même milieu. 2. Ce que l'on en déduit • (MM') est parallèle à (AB) et MM' = AB ; • (AM) est parallèle à (BM') et AM = BM' : la translation qui transforme A en M transforme donc aussi B en M' ; • dans un parallélogramme ABCD, la translation qui transforme A en B transforme D en C, et celle qui transforme A en D transforme B en C. 3. Méthode : démontrer qu'un point est l'image d'un autre 1. Repérer la translation (de A vers B) et le point dont on cherche l'image (M). 2. Écrire le quadrilatère dans l'ordre « départ, arrivée, image, point » : A, B, M', M. 3. Démontrer que ce quadrilatère est un parallélogramme : diagonales de même milieu, ou deux côtés opposés parallèles et de même longueur sans croisement. 4. Conclure : « donc M' est l'image de M par la translation qui transforme A en B ». 4. Attention à l'ordre des lettres Le parallélogramme est ABM'M, et non ABMM' : dans ABMM', les côtés [BM] et [M'A] se croisent. De même, l'égalité MM' = AB ne suffit pas pour conclure : il faut aussi la même direction et le même sens.

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