Frises, pavages et compositions de translations

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Frise : un motif répété le long d'une bande ; la translation dont la longueur est le décalage entre deux motifs voisins envoie chaque motif sur le suivant. • Pavage : recouvrement du plan sans trou ni chevauchement ; un pavage par translations utilise deux directions différentes. • Translation qui transforme A en B, puis translation qui transforme B en C : c'est la translation qui transforme A en C. • Sur un quadrillage, les décalages s'ajoutent : (+3 ; +1) puis (+2 ; -4) donnent (+5 ; -3).

Le cours

1. Frise Une frise est une bande dans laquelle un même motif se répète à intervalles réguliers, dans une seule direction. Si deux motifs voisins sont décalés d'une longueur L, la translation de longueur L dans la direction de la bande envoie chaque motif sur le suivant. En l'appliquant k fois, on passe d'un motif à celui qui est k rangs plus loin : c'est la translation de longueur k L. Lmême orientation partout 2. Pavage Un pavage recouvre le plan sans trou ni chevauchement. Un pavage obtenu par translations utilise deux translations de directions différentes : pour un carrelage de parallélogrammes ABCD identiques, la translation qui transforme A en B fait passer d'une colonne à la suivante, et celle qui transforme A en D d'une rangée à la suivante. Tout parallélogramme pave ainsi le plan. Parmi les polygones réguliers, seuls le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone régulier pavent le plan à eux seuls : autour d'un sommet, 6 60^, 4 90^ ou 3 120^ font exactement 360^. Le pentagone régulier, dont les angles mesurent 108^, n'y parvient pas : 3 108^ = 324^ laisse un trou et 4 108^ = 432^ déborde. 3. Enchaîner deux translations Appliquer la translation qui transforme A en B, puis celle qui transforme B en C, revient à appliquer une seule translation : celle qui transforme A en C. Sur un quadrillage, les décalages s'ajoutent, et l'ordre des deux translations ne change pas le résultat : • (+3 ; +1) puis (+2 ; -4) donnent (+5 ; -3) ; • 3 cm vers la droite puis 5 cm vers la droite donnent 8 cm vers la droite ; • 4 cm vers la droite puis 4 cm vers la gauche : chaque point revient à sa place. 4. Attention Dans une frise obtenue par translation, tous les motifs sont orientés de la même façon. Si un motif sur deux est retourné, une symétrie axiale intervient ; s'il est tête en bas, c'est un demi-tour. Et les longueurs de deux translations ne s'ajoutent que si elles ont la même direction et le même sens.

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