Symétries axiale et centrale et parallélogrammes de 5ème

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Symétrie d'axe (d) : (d) est la médiatrice de [MM'] ; la figure est retournée. • Symétrie de centre O : O est le milieu de [MM'] ; la figure fait un demi-tour. • Les deux symétries conservent les longueurs, les angles, l'alignement et les aires. • Parallélogramme : côtés opposés parallèles et de même longueur, diagonales de même milieu.

Le cours

1. Symétrie axiale (6e) Le symétrique d'un point M par rapport à une droite (d) est le point M' tel que (d) soit la médiatrice du segment [MM'] : la droite (MM') est perpendiculaire à (d), et M et M' sont à la même distance de (d). Un point situé sur l'axe est son propre symétrique. On obtient la figure symétrique en pliant la feuille le long de (d) : elle est retournée, comme dans un miroir. 2. Symétrie centrale (5e) Le symétrique d'un point M par rapport à un point O est le point M' tel que O soit le milieu du segment [MM'] : les points M, O et M' sont alignés et OM = OM'. Seul le centre O est son propre symétrique. La figure fait un demi-tour (180^) autour de O : elle se retrouve « tête en bas », sans être retournée. Une droite a pour symétrique une droite qui lui est parallèle. Les deux symétries conservent les longueurs, les mesures d'angles, l'alignement et les aires : une figure et son symétrique sont superposables. 3. Le parallélogramme (5e) Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Dans un parallélogramme ABCD : • les côtés opposés ont la même longueur : AB = DC et AD = BC ; • les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu O, centre de symétrie de la figure ; • les angles opposés ont la même mesure. Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, il suffit de montrer que ses diagonales ont le même milieu, ou bien, s'il n'est pas croisé, que deux de ses côtés opposés sont à la fois parallèles et de même longueur. 4. Ce qui change en 4e La 4e introduit une nouvelle transformation, la translation, qui fait glisser une figure en ligne droite sans la retourner ni la faire tourner. Si une translation transforme A en B et M en M', le quadrilatère ABM'M est un parallélogramme : les propriétés ci-dessus serviront à construire des images et à justifier des résultats.

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