Interprétation géométrique du développement et des identités remarquables par les aires — 3ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• Géométriquement, l'aire d'un carré de côté a+b est (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (somme de deux carrés et deux rectangles). • L'identité (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 s'obtient par soustraction de bandes dans un carré d'aire a^2. • L'identité a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) correspond au réarrangement d'un carré privé d'un petit coin carré.

Le cours

1. Visualiser (a + b)^2 comme l'aire d'un grand carré Les identités remarquables trouvent leur origine historique dans la géométrie grecque et arabe, où les grandeurs étaient représentées par des segments et des surfaces. L'aire d'un carré de côté (a + b) est égale à (a + b)^2. En découpant ce carré le long des longueurs a et b, on obtient quatre figures : • Un carré d'aire a^2 ; • Un carré d'aire b^2 ; • Deux rectangles d'aire a b. Aire totale = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 Cette figure prouve visuellement la présence indispensable du « double produit » 2ab. 2. Visualiser (a - b)^2 et (a + b)(a - b) Les deux autres identités remarquables s'expliquent également par des puzzles géométriques d'aires : • Pour (a - b)^2 : on part d'un grand carré d'aire a^2. On retire deux bandes de largeur b et de longueur a (aire 2ab). Le petit coin d'aire b^2 ayant été retiré deux fois, on doit le rajouter une fois : d'où a^2 - 2ab + b^2. • Pour (a + b)(a - b) : on part d'un carré d'aire a^2 auquel on ôte un coin carré d'aire b^2. La pièce restante en forme de L peut être découpée et réassemblée en un rectangle de dimensions (a + b) sur (a - b), prouvant que (a + b)(a - b) = a^2 - b^2. 3. Erreur fréquente Oublier le double produit 2ab dans (a + b)^2 reviendrait géométriquement à oublier les deux rectangles latéraux lors du calcul de l'aire totale, ce qui créerait un énorme trou dans la surface du carré.

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