Simple et double distributivité de 4ème

3ème · Mathématiques 3ème

À retenir

• k(a + b) = ka + kb et k(a - b) = ka - kb. • (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd : quatre produits, puis on réduit. • x x = x^2 mais x + x = 2x ; 2x 3x = 6x^2 mais 2x + 3x = 5x. • Un signe - devant une parenthèse change le signe de tous ses termes : -(2x - 5) = -2x + 5.

Le cours

Distributivité simple Pour multiplier un nombre k par une somme ou par une différence, on multiplie k par chacun des termes : k(a + b) = ka + kb k(a - b) = ka - kb Exemples : 5(x + 4) = 5x + 20 ; -3(2x - 5) = -6x + 15 ; x(x - 7) = x^2 - 7x. Double distributivité Pour multiplier deux sommes, on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde : on obtient quatre produits. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Exemple : (x + 2)(x + 5) = x^2 + 5x + 2x + 10 = x^2 + 7x + 10. On peut le voir comme l'aire d'un rectangle de côtés x + 2 et x + 5, découpé en quatre rectangles d'aires x^2, 5x, 2x et 10. Un carré se développe de la même façon, en l'écrivant comme un produit : (x + 3)^2 = (x + 3)(x + 3) = x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9. Réduire une expression Réduire, c'est regrouper les termes de même nature : les termes en x^2 ensemble, les termes en x ensemble, les nombres ensemble. On ordonne ensuite le résultat, du terme en x^2 jusqu'au nombre seul. x x = x^2, mais x + x = 2x. 2x 3x = 6x^2, mais 2x + 3x = 5x. 4x^2 - x^2 + 3x - 8x + 1 = 3x^2 - 5x + 1 : on n'ajoute jamais un terme en x^2 à un terme en x. Méthode Écrire les produits un par un, chacun avec son signe : le signe d'un terme est celui qui le précède. Calculer chaque produit avec la règle des signes : (-3) (-4) = +12. Regrouper les termes semblables, réduire, puis ordonner. Contrôler en remplaçant x par une valeur simple dans l'expression de départ et dans le résultat. Signe moins devant une parenthèse Un signe - placé devant une parenthèse change le signe de chacun des termes qu'elle contient : -(2x - 5) = -2x + 5. Si la parenthèse contient un produit, on développe d'abord ce produit en le gardant entre crochets, puis on supprime les crochets : 7 - (x + 1)(x + 2) = 7 - [x^2 + 3x + 2] = -x^2 - 3x + 5.

Dans ce chapitre

• Simple et double distributivité de 4ème
• Calculer la valeur d'une expression littérale pour des valeurs numériques de 5ème
• Carré d'un produit et distinction entre (-a)^2 et -a^2 de 4ème
• Première identité remarquable : (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• Deuxième identité remarquable : (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
• Programmes de calcul et preuves algébriques
• Troisième identité remarquable : (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
• Développements d'expressions complexes avec réductions
• Applications au calcul mental rapide
• Interprétation géométrique du développement et des identités remarquables par les aires — 3ème
• Développement de produits de trois facteurs ou d'expressions imbriquées — 3ème
• Exprimer une aire ou un périmètre sous forme développée et réduite en fonction de x — 3ème
• Identités remarquables avec fractions ou opposés : (-a+b)^2 et carrés rationnels — 3ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur le développement et les identités remarquables